制御理論の問題

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし入力 $u$ は、$J$ が有限となり $t\to \infty$ で $x(t)\to 0$ となる区分的に連続な関数の中から選ぶものとする。$J$ の最小値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$
を考える。ここで $a,b$ は実数の定数である。評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+5x_2(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を、$J$ が有限となる区分的に連続な入力 $u(t)$ 全体にわたって最小化する。$J$ の最小値を $a,b$ の式で求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と入力 $u(t)$ をもつスカラーの線形系
$$\dot{x}(t)=x(t)+2u(t),x(0)=2$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(3x(t{)}^2+4u(t{)}^2)dt$$
を考える。入力 $u$ は、$t\to \infty$ で $x(t)\to 0$ となり $J$ が有限になるものの中から選ぶとする。$J$ の最小値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系（2 重積分器）
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし、入力 $u$ は $J$ が有限となる区分的に連続な関数全体を動くものとする。$J$ の最小値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$$
を考える。可制御性行列 $U_c=\left(\begin{array}{ccc}B& AB& A^{2}B\end{array}\right)$ の階数を $r_c$、可観測性行列 $U_o=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\end{array}\right)$ の階数を $r_o$ とする。組 $(r_c,r_o)$ をこの順に求めよ。