制御理論の問題

系を $\dot{x}=Ax+Bu$ と書くと
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 5\end{array}\right),R=1$$
である。$(A,B)$ は可制御、$Q>0$ なので、リッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-PB{B}^{\top }P+Q=0$$
は正定値対称解 $P$ をただ一つもち、最小値は $x(0{)}^{\top }Px(0)$ となる。以下ではこの $P$ を求め、最小値であることを直接確かめる。

リッカチ方程式を解く. $P=\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ p_2& p_3\end{array}\right)$ とおくと
$$A^{\top }P+PA=\left(\begin{array}{cc}0& p_1\\ p_1& 2p_2\end{array}\right),PB{B}^{\top }P=\left(\begin{array}{cc}{p}_2^2& p_2{p}_3\\ p_2{p}_3& p_3^2\end{array}\right)$$
より、成分ごとに
$$(1,1):-p_2^2+4=0,(1,2):p_1-p_2{p}_3=0,(2,2):2p_2-p_3^2+5=0.$$
よって $p_2=\pm 2$ である。
- $p_2=-2$ のとき $p_3^2=1$、$p_1=-2p_3$ となる。$p_1>0$ と $p_3>0$ を同時には満たせないので、正定値にならない。
- $p_2=2$ のとき $p_3^2=9$、$p_1=2p_3$ となる。正定値には $p_3=3$ が必要で、このとき $p_1=6$ である。

よって
$$P=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$$
であり、$6\cdot 3-2^2=14>0$ から確かに正定値である。$B^{\top }Px=2x_1+3x_2$ である。

平方完成. $V(t)=x(t{)}^{\top }Px(t)$ とおく。リッカチ方程式から $A^{\top }P+PA=PB{B}^{\top }P-Q$ なので
$$\dot{V}=x^{\top }(A^{\top }P+PA)x+2u{B}^{\top }Px=-x^{\top }Qx+(B^{\top }Px{)}^2+2u{B}^{\top }Px=-x^{\top }Qx-u^2+(u+B^{\top }Px{)}^2.$$
$0$ から $T$ まで積分すると
$${\int }_0^T(4x_1^2+5x_2^2+u^2)dt=V(0)-V(T)+{\int }_0^T(u+2x_1+3x_2{)}^{2}dt.(1)$$

$J$ が有限なら $V(T)\to 0$ であること. $J<\infty$ とすると、$x_1,x_2,u$ はいずれも $[0,\infty )$ 上で2乗可積分である。$|x{|}^2=x_1^2+x_2^2$ について
$$\frac{d}{dt}|x(t){|}^2=2x_1{\dot{x}}_1+2x_2{\dot{x}}_2=2x_1{x}_2+2x_{2}u$$
であり、コーシー・シュワルツの不等式により2乗可積分な関数どうしの積は可積分なので、右辺は $[0,\infty )$ 上で可積分である。したがって
$$|x(T){|}^2=|x(0){|}^2+{\int }_0^T(2x_1{x}_2+2x_{2}u)dt$$
は $T\to \infty$ で有限な極限 $c\ge 0$ をもつ。もし $c>0$ なら、十分大きな $t$ で $|x(t){|}^2>c/2$ となり ${\int }_0^{\infty }|x{|}^{2}dt=\infty$ となって矛盾する。よって $c=0$、すなわち $x(T)\to 0$ であり、$V(T)=x(T{)}^{\top }Px(T)\to 0$ である。

結論. $(1)$ で $T\to \infty$ とすると、右辺の積分は非負の被積分関数の積分なので
$$J=x(0{)}^{\top }Px(0)+{\int }_0^{\infty }(u+2x_1+3x_2{)}^{2}dt\ge x(0{)}^{\top }Px(0).$$
一方、$u=-2x_1-3x_2$ とすると閉ループ特性多項式は $s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$ で、解は指数的に $0$ に収束するので $J$ は有限であり、上の式で等号が成り立つ。

したがって最小値は
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=6a^2+4ab+3b^2.$$

（検算：$a=1,b=-1$ のとき閉ループ解は $x_1=e^{-t},x_2=-e^{-t},u=e^{-t}$ となる。被積分関数は $10e^{-2t}$ で、積分は $5$ であり、$6-4+3=5$ と一致する。）

これは線形二次レギュレータ(LQR)問題である。$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$、$Q=\mathrm{diag}(4,5)$、$R=1$ とおく。最小値は $x(0{)}^{T}Px(0)$ で与えられる。ここで $P$ は代数的リカッチ方程式 $A^{T}P+PA-PB{B}^{T}P+Q=0$ の半正定値の安定化解である。

$P=\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ p_2& p_3\end{array}\right)$ とおく。各項は次のとおり。
- $A^{T}P+PA=\left(\begin{array}{cc}0& p_1\\ p_1& 2p_2\end{array}\right)$
- $PB{B}^{T}P=\left(\begin{array}{cc}{p}_2^2& p_2{p}_3\\ p_2{p}_3& p_3^2\end{array}\right)$

成分ごとに方程式を立てる。
- (1,1) 成分: $-p_2^2+4=0$ より $p_2=\pm 2$。
- (1,2) 成分: $p_1-p_2{p}_3=0$。
- (2,2) 成分: $2p_2-p_3^2+5=0$。

$P$ が正定値であるためには $p_2$ の符号を決める必要がある。$p_2=-2$ とすると $p_3^2=1$ となり、$p_3=1$ のとき $p_1=-2$ で $p_1<0$ となって半正定値にならない。よって $p_2=2$ を採る。このとき $p_3^2=9$ で $p_3=3$、$p_1=6$ となる。

$P=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ は $\det =14>0$、$p_1>0$ なので正定値である。

最適入力は $u=-B^{T}Px=-(2x_1+3x_2)$ である。このとき閉ループの特性方程式は $s^2+3s+2=0$ となり、根は $-1,-2$ で安定である。したがって安定化解であることが確認できる。

以上より $J_{\min }=x(0{)}^{T}Px(0)=6a^2+4ab+3b^2$ である。