制御理論の問題

系を $\dot{x}=Ax+Bu$ と書くと
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),$$
評価関数の重みは $Q=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=C^{\top }C(C=(20))$、$R=1$ である。

$(A,B)$ は可制御（$(BAB)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ が正則）、$(C,A)$ は可観測（$\left(\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ が正則）なので、リッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\top }P+Q=0$$
は正定値対称な解 $P$ をただ 1 つもち、$J$ の最小値は $x(0{)}^{\top }Px(0)$、最適入力は $u=-R^{-1}{B}^{\top }Px$ となる。

$P=\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ p_2& p_3\end{array}\right)$ とおくと
$$A^{\top }P+PA=\left(\begin{array}{cc}0& p_1\\ p_1& 2p_2\end{array}\right),PB{B}^{\top }P=\left(\begin{array}{cc}{p}_2^2& p_2{p}_3\\ p_2{p}_3& p_3^2\end{array}\right)$$
だから、成分ごとに
$$(1,1):-p_2^2+4=0,(1,2):p_1-p_2{p}_3=0,(2,2):2p_2-p_3^2=0.$$
$(2,2)$ より $p_3^2=2p_2$ なので $p_2\ge 0$ であり、$(1,1)$ と合わせて $p_2=2$。$P$ が正定値なので $p_3>0$ で、$p_3=\sqrt{4}=2$。$(1,2)$ より $p_1=p_2{p}_3=4$。よって
$$P=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$
で、$p_1=4>0$、$\det P=8-4=4>0$ より確かに正定値である。（最適入力は $u=-2x_1-2x_2$ で、閉ループの特性多項式は $s^2+2s+2$、極 $-1\pm i$ は安定。）

したがって
$$J_{\min }=x(0{)}^{\top }Px(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=4+2\cdot 2+2=10.$$

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, $Q=\mathrm{diag}(4,0)$, $R=1$ の LQ 最適制御問題。$(A,B)$ は可制御、$(Q^{1/2},A)$ は $Q^{1/2}=\mathrm{diag}(2,0)$ として可観測なので、代数リッカチ方程式 $A^{T}P+PA-PB{B}^{T}P+Q=0$ の安定化解（半正定対称）$P$ がただ一つ存在し、最小値は $x(0{)}^{T}Px(0)$ である。

$P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$ とおくと $A^{T}P+PA=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ p& 2q\end{array}\right)$、$PB{B}^{T}P=\left(\begin{array}{cc}{q}^2& qr\\ qr& r^2\end{array}\right)$。よって
- (1,1) 成分: $-q^2+4=0$
- (1,2) 成分: $p-qr=0$
- (2,2) 成分: $2q-r^2=0$

$P\ge 0$ より $q^2=4$ から $q=\pm 2$、(2,2) 成分から $r^2=2q\ge 0$ なので $q=2$、$r=2$（$r>0$ のとき）、$p=qr=4$。よって $P=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$（固有値の積 $8-4=4>0$、トレース 6 より正定）。

閉ループ: $u=-B^{T}Px=-2x_1-2x_2$、$A_c=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -2\end{array}\right)$、特性多項式 $s^2+2s+2$ の根 $-1\pm i$ は安定。

最小値 $J=x(0{)}^{T}Px(0)=4\cdot 1+2\cdot 2\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1=4+4+2=10$。

検算: $A_c$ のもとでリアプノフ方程式 $A_c^{T}X+X{A}_c+Q+K^{T}K=0$（$K=(2,2)$）の解が $P$ になることを確認する。$Q+K^{T}K=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$。$P{A}_c=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ -4& -2\end{array}\right)$、$A_c^{T}P=\left(\begin{array}{cc}-4& -4\\ 0& -2\end{array}\right)$、和は $\left(\begin{array}{cc}-8& -4\\ -4& -4\end{array}\right)$。これに $\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$ を足すと $0$。確かに成立する。