スカラー系の最適レギュレータ

$x ˙ = a x + b u$ , $J = \int_{0}^{\infty} (q x^{2} + r u^{2}) d t$ に対し、リッカチ方程式 $2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q = 0$ の正の解 $p$ を求め、最小値 $J^{*} = p x (0)^{2}$ と最適フィードバックを求められる

前提

広義積分（大学数学微分積分）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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乗法公式による展開（中学数学数と式）
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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

説明

状態が 1 つのスカラー系 $x ˙ = a x + b u$ （ $b \neq = 0$ ）に対し、状態のずれ $x$ と入力 $u$ の大きさの兼ね合いを表す評価 $J = \int_{0}^{\infty} (q x^{2} + r u^{2}) d t$ （ $q > 0, r > 0$ ）を最小にする入力を求めます。答えは、2 次方程式であるリッカチ方程式 $2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q = 0$ の正の解 $p$ を使って、最適フィードバック $u = - \frac{b p}{r} x$ と最小値 $J^{*} = p x (0)^{2}$ という形で得られます。状態を $0$ に戻す制御を「少ない入力で速く」行う設計（最適レギュレータ）の最も基本的な場合です。

なぜそうしてよいのか

鍵は平方完成です。定数 $p$ を 1 つ用意すると、合成関数の微分より $\frac{d}{d t} (p x^{2}) = 2 p x x ˙ = 2 a p x^{2} + 2 b p xu$ です。これを評価の被積分関数に加えて $u$ について平方完成すると
$q x^{2} + r u^{2} + \frac{d}{d t} (p x^{2}) = r (u + \frac{b p}{r} x)^{2} + (2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q) x^{2}$
となります。そこで $p$ をリッカチ方程式 $2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q = 0$ の解に選ぶと、最後の項が消えます。両辺を $0$ から $T$ まで積分すると
$\int_{0}^{T} (q x^{2} + r u^{2}) d t = p x (0)^{2} - p x (T)^{2} + \int_{0}^{T} r (u + \frac{b p}{r} x)^{2} d t .$

$J$ が有限になる入力では $x (T) \to 0$ （ $T \to \infty$ ）となります（ $q > 0$ なので $\int_{0}^{\infty} x^{2} d t$ と $\int_{0}^{\infty} u^{2} d t$ が有限で、 $x ˙ = a x + b u$ から $\frac{d}{d t} x^{2} = 2 x x ˙$ も積分可能になり、 $x^{2}$ は極限をもち、その極限は $0$ でなければ $\int x^{2} d t$ が発散するため）。よって $T \to \infty$ とする広義積分で $J = p x (0)^{2} + \int_{0}^{\infty} r (u + \frac{b p}{r} x)^{2} d t \geq p x (0)^{2}$ で、等号は $u = - \frac{b p}{r} x$ のときです。ただしこの入力で本当に $x \to 0$ にならないと議論が成り立ちません。この入力を代入すると $x ˙ = (a - \frac{b ^{2} p}{r}) x$ で、解は $x (t) = x (0) e^{(a - b^{2} p / r) t}$ です。

リッカチ方程式 $\frac{b ^{2}}{r} p^{2} - 2 a p - q = 0$ の判別式は $4 a^{2} + \frac{4 b ^{2} q}{r} > 0$ で、2 解の積は $- \frac{q r}{b ^{2}} < 0$ なので、正の解と負の解が 1 つずつあります。正の解は $p = \frac{r}{b ^{2}} (a + a^{2} + \frac{b ^{2} q}{r})$ で、このとき $a - \frac{b ^{2} p}{r} = - a^{2} + \frac{b ^{2} q}{r} < 0$ となり、 $x (t) \to 0$ が保証されます。負の解では $a - \frac{b ^{2} p}{r} = + a^{2} + \frac{b ^{2} q}{r} > 0$ となり状態が発散するので、使えません。これが「正の解」を選ぶ理由です。

手順

問題から $a, b, q, r, x (0)$ を読み取り、 $b \neq = 0, q > 0, r > 0$ を確認する
リッカチ方程式 $2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q = 0$ （つまり $\frac{b ^{2}}{r} p^{2} - 2 a p - q = 0$ ）を因数分解または解の公式で解く
2 つの解のうち正の解 $p = \frac{r}{b ^{2}} (a + a^{2} + \frac{b ^{2} q}{r})$ を選ぶ
最適フィードバック $u = - \frac{b p}{r} x$ を求め、閉ループ $x ˙ = (a - \frac{b ^{2} p}{r}) x$ の係数が負であることを確かめる
最小値 $J^{*} = p x (0)^{2}$ を計算する

例題

スカラー系 $x ˙ = x + u$ 、初期値 $x (0) = 2$ に対し、評価
$J = \int_{0}^{\infty} (3 x^{2} + u^{2}) d t$
を最小にする。 $J$ の最小値 $J^{*}$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $a = 1, b = 1, q = 3, r = 1, x (0) = 2$ で、 $b \neq = 0, q > 0, r > 0$ を満たす。

（手順 2）リッカチ方程式は $2 \cdot 1 \cdot p - \frac{1 ^{2}}{1} p^{2} + 3 = 0$ 、すなわち
$p^{2} - 2 p - 3 = 0 ⟺ (p - 3) (p + 1) = 0$
で、解は $p = 3, - 1$ 。

（手順 3）正の解 $p = 3$ を選ぶ。

（手順 4）最適フィードバックは $u = - \frac{b p}{r} x = - 3 x$ 。閉ループは $x ˙ = (1 - 3) x = - 2 x$ で係数 $- 2 < 0$ なので、 $x (t) = 2 e^{- 2 t} \to 0$ となる。

（手順 5） $J^{*} = p x (0)^{2} = 3 \cdot 2^{2} = 12$ 。

（検算） $x = 2 e^{- 2 t}, u = - 6 e^{- 2 t}$ を代入すると $3 x^{2} + u^{2} = 12 e^{- 4 t} + 36 e^{- 4 t} = 48 e^{- 4 t}$ で、 $\int_{0}^{\infty} 48 e^{- 4 t} d t = lim_{T \to \infty} 12 (1 - e^{- 4 T}) = 12$ と一致する。

よって $J^{*} = 12$ 。

答え: $12$

よくある誤り

リッカチ方程式の負の解を選んでしまう誤り。例題で $p = - 1$ とすると $J^{*} = - 4 < 0$ となり、被積分関数が $0$ 以上であることに反するうえ、 $u = x$ で閉ループ $x ˙ = 2 x$ は発散する。正しくは正の解 $p = 3$ を選ぶ
フィードバックの符号や係数を取り違え、 $u = + \frac{b p}{r} x$ や $u = - \frac{b ^{2} p}{r} x$ としてしまう誤り。正しくは平方完成で現れる $r (u + \frac{b p}{r} x)^{2}$ を $0$ にする $u = - \frac{b p}{r} x$ である（ $b^{2}$ が現れるのは閉ループの係数 $a - \frac{b ^{2} p}{r}$ のほう）
最小値を $J^{*} = p x (0)$ や $J^{*} = p$ としてしまう誤り。正しくは $J^{*} = p x (0)^{2}$ で、例題では $3 \cdot 2^{2} = 12$ である
リッカチ方程式を $2 a p - b^{2} r p^{2} + q = 0$ のように $r$ を分子に置いてしまう誤り。正しくは $2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q = 0$ で、入力の重み $r$ が大きいほど $p^{2}$ の係数が小さくなる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実数値の状態 $x (t)$ と入力 $u (t)$ をもつスカラーの線形系
$x ˙ (t) = x (t) + 2 u (t), x (0) = 2$
に対して、評価関数
$J = \int_{0}^{\infty} (3 x (t)^{2} + 4 u (t)^{2}) d t$
を考える。入力 $u$ は、 $t \to \infty$ で $x (t) \to 0$ となり $J$ が有限になるものの中から選ぶとする。 $J$ の最小値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

行列リッカチ方程式と最適コスト（大学院数学制御理論）