制御理論の問題

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$$
を考える。可制御性行列 $U_c=\left(\begin{array}{ccc}B& AB& A^{2}B\end{array}\right)$ の階数を $r_c$、可観測性行列 $U_o=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\end{array}\right)$ の階数を $r_o$ とする。組 $(r_c,r_o)$ をこの順に求めよ。

実数のパラメータ $a$ を含む 1 入力 1 出力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),y(t)=cx(t)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$ であり、
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{cc}a& 1\end{array}\right)$$
とする。この系が可観測でなくなるような $a$ の値をすべて求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$, $K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$（$k_1,k_2$ は実数）を施す。閉ループ系 $\dot{x}=(A-BK)x$ の固有値がちょうど $-2$ と $-4$ になるように $K$ を定める。このとき、状態が $x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ である時刻に加えられる入力 $u$ の値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,$$
$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$$
に、状態フィードバックと目標値 $r$（実数の定数）を用いた制御則
$$u=-Kx+Nr,K=\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)$$
を施す。ここで $N$ は実数の定数（前置ゲイン）である。閉ループ系は漸近安定である。任意の初期状態と任意の定数 $r$ に対して $\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=r$ となるような $N$ の値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
を考える。状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$（$K=\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& k_2& k_3\end{array}\right)$ は実数を成分とする $1\times 3$ 行列）を施した閉ループ系 $\dot{x}=(A-bK)x$ の固有値が $-2,-3,-4$ となるように $K$ を定める（このような $K$ はただ 1 つ存在する）。

初期状態が $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ のとき、時刻 $t=0$ における入力の値 $u(0)$ を求めよ。