離散時間系のデッドビート制御

離散時間系で $A - b K$ の固有値をすべて $0$ にするゲインを求め、 $(A - b K)^{n} = 0$ から有限ステップで状態が $0$ になることを使って入力列や $\sum u [k]^{2}$ を求められる

前提

極配置による状態フィードバック（大学院数学制御理論）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）

説明

離散時間系 $x [k + 1] = A x [k] + b u [k]$ （ $x$ は $n$ 次元、 $u$ はスカラー）に状態フィードバック $u [k] = - K x [k]$ をかけるとき、閉ループ行列 $A - b K$ の固有値をすべて $0$ に置くと、どんな初期状態からでも高々 $n$ ステップで状態がぴったり $0$ になります。これをデッドビート制御（有限整定制御）といいます。 $(A, b)$ が可制御なら、ゲイン $K$ は極配置と同じ方法でただ 1 つに決まり、そこから状態の推移、入力列 $u [0], u [1], \dots$ 、入力のエネルギー $\sum u [k]^{2}$ などを計算できるようになります。

なぜそうしてよいのか

$u [k] = - K x [k]$ を代入すると $x [k + 1] = (A - b K) x [k]$ なので、 $x [k] = (A - b K)^{k} x [0]$ です。連続時間では固有値の実部を負にしても状態は $0$ に近づくだけですが、離散時間では行列を繰り返し掛けるだけなので、行列のべきがある回数で零行列になれば、状態はそこでちょうど $0$ になります。

そのための条件が「固有値をすべて $0$ にする」ことです。 $A_{cl} = A - b K$ の特性多項式を $det (z I - A_{cl}) = z^{n}$ にすると、ケーリー・ハミルトンの定理により $A_{cl}^{n} = O$ が成り立ちます。したがって任意の $x [0]$ について $x [n] = A_{cl}^{n} x [0] = 0$ であり、その後も $x [k] = 0$ 、入力も $u [k] = - K x [k] = 0$ （ $k \geq n$ ）です。ゲイン $K$ の求め方は極配置とまったく同じで、変数 $s$ を $z$ と書き、目標の特性多項式を $z^{n}$ にするだけです。極配置と同じく、 $(A, b)$ が可制御であれば係数比較で $K$ はただ 1 つに決まります（可制御でなければ、固有値を $0$ にできるとは限りません）。

なお、1 入力で可制御な系では、 $(A_{cl}, b)$ も可制御です（ $A_{cl}^{k} b$ は $b, A b, \dots, A^{k} b$ の一次結合で、 $A^{k} b$ を $b, A_{cl} b, \dots, A_{cl}^{k} b$ で表すこともできるので、可制御行列の階数は変わりません）。もし $m < n$ で $A_{cl}^{m} = O$ なら、可制御行列の列 $A_{cl}^{m} b, \dots, A_{cl}^{n - 1} b$ がすべて $0$ になって階数が $m$ 以下になり矛盾します。よって最小多項式はちょうど $z^{n}$ で、特に $n \geq 2$ のとき $A_{cl}$ 自体は零行列ではなく、初期状態によっては $n$ ステップ目まで $0$ になりません（ $n = 1$ なら $A_{cl} = 0$ となり 1 ステップで整定します）。また、離散時間系の安定性は固有値の絶対値が $1$ より小さいことで決まるので、固有値 $0$ は「最も速く収束する」置き方にあたります（連続時間の $s = 0$ とは意味が違います）。

手順

$(A, b)$ が可制御であること、つまり可制御行列 $(b A b \dots A^{n - 1} b)$ の階数が $n$ であることを確かめる（これで $K$ がただ 1 つ存在することが保証される）
閉ループ行列 $A - b K$ （ $K = (k_{1} \dots k_{n})$ ）をつくり、特性多項式 $det (z I - A + b K)$ を $k_{i}$ を含む形で計算する
それを $z^{n}$ と係数比較して（またはアッカーマンの公式で目標多項式 $z^{n}$ を使って） $K$ を求める
検算として、 $A_{cl} = A - b K$ について $A_{cl}^{n} = O$ を確かめる（ケーリー・ハミルトンの定理から必ず成り立つ）
初期状態から $x [k + 1] = A_{cl} x [k]$ で状態を順に計算し、各時刻の入力 $u [k] = - K x [k]$ を求める。 $x [n] = 0$ になるので計算は $k = 0, \dots, n - 1$ で終わる
入力列や $k = 0 \sum \infty u [k]^{2} = k = 0 \sum n - 1 u [k]^{2}$ など、問われた量を計算する（ $k \geq n$ では $u [k] = 0$ ）

例題

離散時間系
$x [k + 1] = (1011) x [k] + (01) u [k]$
に状態フィードバック $u [k] = - K x [k]$ を施し、 $A - b K$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定める。初期状態 $x [0] = (21)$ のとき、 $k = 0 \sum \infty u [k]^{2}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $A b = (11)$ より $det (b A b) = det (0111) = - 1 \neq = 0$ 。よって可制御で、 $K$ はただ 1 つに決まる。

【手順 2】 $K = (k_{1} k_{2})$ とすると $b K = (0 k_{1} 0 k_{2})$ より
$A - b K = (1 - k_{1} 1 1 - k_{2}),$
$det (z I - A + b K) = (z - 1) (z - 1 + k_{2}) + k_{1} = z^{2} + (k_{2} - 2) z + (1 - k_{2} + k_{1}) .$

【手順 3】 $z^{2}$ と係数比較して $k_{2} - 2 = 0, 1 - k_{2} + k_{1} = 0$ 。よって $k_{2} = 2, k_{1} = 1$ 、 $K = (12)$ 。

【手順 4】 $A_{cl} = (1 - 1 1 - 1)$ で、
$A_{cl}^{2} = (1 - 1 - 1 + 1 1 - 1 - 1 + 1) = O .$

【手順 5】
- $k = 0$ : $u [0] = - K x [0] = - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = - 4$ 。 $x [1] = A_{cl} x [0] = (3 - 3)$ （ $A x [0] + b u [0] = (31) + (0 - 4)$ と一致）。
- $k = 1$ : $u [1] = - K x [1] = - (3 - 6) = 3$ 。 $x [2] = A_{cl} x [1] = (00)$ 。
- $k \geq 2$ : $x [k] = 0$ より $u [k] = 0$ 。

【手順 6】
$k = 0 \sum \infty u [k]^{2} = (- 4)^{2} + 3^{2} = 25.$

答え: $25$

よくある誤り

$A - b K$ を零行列にしようとしてしまう誤り。例題では $A - b K = (1 - k_{1} 1 1 - k_{2})$ の 1 行目は $K$ で変えられないので零行列にはならない。正しくは特性多項式を $z^{n}$ にし、 $(A - b K)^{n} = O$ となることを使う
状態の推移を開ループの $A$ で計算してしまう誤り。 $x [k + 1] = A x [k]$ とすると例題で $x [1] = (31)$ となり、 $u [1] = - 5$ と誤る。正しくは入力を含めた $x [k + 1] = (A - b K) x [k] = A x [k] + b u [k]$ で、 $x [1] = (3 - 3)$
入力の和を $n$ ステップより先まで数えたり、逆に最初の入力 $u [0]$ を落としたりする誤り。入力が $0$ でないのは $k = 0, 1, \dots, n - 1$ の $n$ 個までなので、 $\sum_{k = 0}^{\infty} u [k]^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} u [k]^{2}$ （例題では $u [0]^{2} + u [1]^{2} = 16 + 9$ ）
連続時間の感覚で「固有値 $0$ は安定限界で不安定」と考えてしまう誤り。離散時間系 $x [k + 1] = A_{cl} x [k]$ の安定性は固有値 $z$ が $∣ z ∣ < 1$ を満たすかどうかで決まり、 $z = 0$ はその内側で最も速く収束する位置である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
状態 $x [k] \in R^{2}$ 、入力 $u [k] \in R$ をもつ離散時間線形時不変系
$x [k + 1] = A x [k] + b u [k] (k = 0, 1, 2, \dots), A = (0 - 2 13), b = (01)$
に、状態フィードバック $u [k] = - K x [k]$ （ $K = (k_{1} k_{2})$ , $k_{1}, k_{2}$ は実数）を施す。 $A - b K$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定め、初期状態を $x [0] = (11)$ とする。このとき $k = 0 \sum \infty u [k]^{2}$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
状態 $x [k] \in R^{3}$ 、入力 $u [k] \in R$ をもつ離散時間線形時不変系
$x [k + 1] = A x [k] + b u [k] (k = 0, 1, 2, \dots), A = 100110012, b = 001$
を考える。状態フィードバック $u [k] = - K x [k]$ （ $K = (k_{1} k_{2} k_{3})$ は実数の行ベクトル）により、閉ループ系の行列 $A - b K$ の固有値がすべて $0$ になるようにする（デッドビート制御）。このような $K$ を用い、初期状態を $x [0] = 100$ としたとき、
$J = k = 0 \sum \infty u [k]^{2}$
の値を求めよ。