2 準位系の時間発展

$H = ε σ_{z} + Δ σ_{x}$ のような 2 準位ハミルトニアンを対角化し、時刻 $t$ に別の状態に見いだす確率（ラビ振動 $P (t) = \frac{Δ ^{2}}{ε ^{2} + Δ ^{2}} sin^{2} \frac{ε ^{2} + Δ ^{2} t}{ℏ}$ など）を求められる

前提

スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））

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算数中学高校大学大学院

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スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
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ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
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2 次不等式（数学I 2次関数）
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無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
三角関数の積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
固有関数による展開と測定確率（大学物理量子力学（1 次元の問題））
定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

状態が 2 つの基底 $∣1 ⟩ = (10)$ , $∣2 ⟩ = (01)$ の重ね合わせで表される系（スピン 1/2、2 原子分子の電子、量子ビットなど）では、ハミルトニアンは $2 \times 2$ のエルミート行列になります。この技能では、 $H = ε σ_{z} + Δ σ_{x}$ のようなハミルトニアンを対角化し、はじめ $∣1 ⟩$ にあった系を時刻 $t$ に $∣2 ⟩$ に見いだす確率が $P (t) = \frac{Δ ^{2}}{ε ^{2} + Δ ^{2}} sin^{2} \frac{ε ^{2} + Δ ^{2} t}{ℏ}$ のように振動する（ラビ振動）ことを導き、具体的な時刻での確率や最大確率、周期を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

時間に依存するシュレーディンガー方程式 $i ℏ \frac{d}{d t} c = H c$ （ $c (t)$ は 2 成分の振幅）は、定数係数の連立線形微分方程式 $c^{'} = A c$ （ $A = - \frac{i}{ℏ} H$ ）なので、解は $c (t) = e^{- i H t /ℏ} c (0)$ です。 $H$ はエルミートなので、固有値 $E_{\pm}$ と正規直交な固有ベクトル $u_{\pm}$ で対角化でき、初期状態を $c (0) = a_{+} u_{+} + a_{-} u_{-}$ と展開すれば $c (t) = a_{+} e^{- i E_{+} t /ℏ} u_{+} + a_{-} e^{- i E_{-} t /ℏ} u_{-}$ となります。これは定常状態の重ね合わせ $\sum c_{n} φ_{n} e^{- i E_{n} t /ℏ}$ そのものです。2 つの位相の進み方の差 $(E_{+} - E_{-}) t /ℏ$ によって成分の干渉が変わり、確率が振動します。

$H = ε σ_{z} + Δ σ_{x} = (ε Δ Δ - ε)$ では、特性多項式 $λ^{2} - (ε^{2} + Δ^{2}) = 0$ から固有値は $\pm Ω$ （ $Ω = ε^{2} + Δ^{2}$ ）です。さらに $σ_{z} σ_{x} + σ_{x} σ_{z} = O$ , $σ_{z}^{2} = σ_{x}^{2} = I$ から $H^{2} = Ω^{2} I$ が成り立つので、指数関数のテイラー展開を偶数次と奇数次に分けると
$e^{- i H t /ℏ} = cos \frac{Ω t}{ℏ} I - i sin \frac{Ω t}{ℏ} \frac{H}{Ω}$
と簡単に書けます（ケーリー・ハミルトンの定理からも同じ結果が出ます）。この行列の $(2, 1)$ 成分 $- i \frac{Δ}{Ω} sin \frac{Ω t}{ℏ}$ が「 $∣1 ⟩$ から $∣2 ⟩$ へ移る振幅」で、その絶対値の 2 乗がラビ振動の式です。

この式から、 $ε = 0$ （2 つの準位のエネルギーがそろっている）なら確率は 1 まで完全に移り、 $∣ ε ∣$ が大きいほど振幅 $\frac{Δ ^{2}}{ε ^{2} + Δ ^{2}}$ が小さくなって移りにくくなることがわかります。

手順

ハミルトニアンを $2 \times 2$ 行列で書き、初期状態 $c (0)$ と、見いだしたい状態 $f$ を成分で書く
$H$ の固有値 $E_{\pm}$ を求める（ $H = ε σ_{z} + Δ σ_{x}$ なら $E_{\pm} = \pm Ω$ , $Ω = ε^{2} + Δ^{2}$ ）
時間発展の行列 $e^{- i H t /ℏ}$ を求める。対角化するか、 $H^{2} = Ω^{2} I$ のときは $e^{- i H t /ℏ} = cos \frac{Ω t}{ℏ} I - i sin \frac{Ω t}{ℏ} \frac{H}{Ω}$ を使う
$c (t) = e^{- i H t /ℏ} c (0)$ を計算し、振幅 $f^{*} c (t)$ を求める
確率 $P (t) = ∣ f^{*} c (t) ∣^{2}$ を求め、与えられた時刻を代入する（ $∣1 ⟩ \to ∣2 ⟩$ なら $P (t) = \frac{Δ ^{2}}{Ω ^{2}} sin^{2} \frac{Ω t}{ℏ}$ ）

例題

2 準位系のハミルトニアンが、正の定数 $a$ を用いて $H = 3 a σ_{z} + 4 a σ_{x} = (3 a 4 a 4 a - 3 a)$ で与えられる。時刻 $t = 0$ に系は状態 $∣1 ⟩ = (10)$ にあった。時刻 $t = \frac{π ℏ}{30 a}$ に系を状態 $∣2 ⟩ = (01)$ に見いだす確率を求めよ。

例題の解答

手順 1: $ε = 3 a$ , $Δ = 4 a$ 。初期状態 $c (0) = (10)$ 、見いだす状態 $f = (01)$ 。

手順 2: 特性多項式 $(3 a - λ) (- 3 a - λ) - 16 a^{2} = λ^{2} - 25 a^{2} = 0$ より固有値は $\pm 5 a$ 、 $Ω = 5 a$ 。

手順 3: $H^{2} = 25 a^{2} I$ なので $e^{- i H t /ℏ} = cos \frac{5 a t}{ℏ} I - i sin \frac{5 a t}{ℏ} \cdot \frac{1}{5 a} (3 a 4 a 4 a - 3 a)$ 。

手順 4: $c (t)$ は上の行列の第 1 列で、 $∣2 ⟩$ の振幅はその第 2 成分 $f^{*} c (t) = - i \cdot \frac{4}{5} sin \frac{5 a t}{ℏ}$ 。

手順 5: $P (t) = \frac{16}{25} sin^{2} \frac{5 a t}{ℏ}$ 。 $t = \frac{π ℏ}{30 a}$ では $\frac{5 a t}{ℏ} = \frac{π}{6}$ 、 $sin^{2} \frac{π}{6} = \frac{1}{4}$ なので
$P = \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{25} .$

答え: $\frac{4}{25}$

よくある誤り

振動の角振動数を $\frac{Ω}{2ℏ}$ や $\frac{Δ}{ℏ}$ としてしまう誤り。固有値は $\pm Ω$ で差は $2Ω$ なので、 $P (t) = \frac{Δ ^{2}}{Ω ^{2}} sin^{2} \frac{Ω t}{ℏ} = \frac{Δ ^{2}}{2 Ω ^{2}} (1 - cos \frac{2Ω t}{ℏ})$ となり、確率の周期は $\frac{π ℏ}{Ω}$ 。sin の中の $Ω$ は $Δ$ ではなく $ε^{2} + Δ^{2}$ である
振幅の前の係数 $\frac{Δ ^{2}}{ε ^{2} + Δ ^{2}}$ を落とし、いつかは必ず確率 1 で移ると考えてしまう誤り。 $ε \neq = 0$ なら最大確率は $\frac{Δ ^{2}}{ε ^{2} + Δ ^{2}} < 1$ で、上の例では $\frac{16}{25}$ までしか移らない
$e^{- i H t /ℏ}$ を成分ごとの指数関数 $(e^{- i εt /ℏ} e^{- i Δ t /ℏ} e^{- i Δ t /ℏ} e^{i εt /ℏ})$ としてしまう誤り。行列の指数関数は成分ごとの指数関数ではなく、対角化して $P e^{- i D t /ℏ} P^{- 1}$ とするか、 $H^{2} = Ω^{2} I$ を使って $cos \frac{Ω t}{ℏ} I - i sin \frac{Ω t}{ℏ} \frac{H}{Ω}$ とする
確率を振幅そのもの、あるいは振幅の実部の 2 乗としてしまう誤り。振幅 $- i \frac{4}{5} sin \frac{5 a t}{ℏ}$ は純虚数なので、確率は絶対値の 2 乗 $- i \frac{4}{5} sin \frac{5 a t}{ℏ}^{2} = \frac{16}{25} sin^{2} \frac{5 a t}{ℏ}$ であり、実部の 2 乗をとると $0$ になってしまう

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
2 準位系の基底を $∣1 ⟩ = (10)$ , $∣2 ⟩ = (01)$ とし、ハミルトニアンを
$H = ε σ_{z} + Δ σ_{x} = (ε Δ Δ - ε)$
とする。ここで $Δ > 0$ で、 $ε = 3 Δ$ とする。
時刻 $t = 0$ に系が状態 $∣1 ⟩$ にあったとき、時刻 $t = \frac{π ℏ}{12Δ}$ に系を状態 $∣2 ⟩$ に見いだす確率を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

強束縛近似の 1 バンドの分散（大学物理固体物理）