量子力学（角運動量・近似法）の問題

スピン $\frac{1}{2}$ の区別できる粒子 1, 2, 3 が三角形の頂点に固定されている。粒子 $i$（$i=1,2,3$）のパウリ行列を ${\mathbf{\sigma }}_i=({\sigma }_{ix},{\sigma }_{iy},{\sigma }_{iz})$、スピン演算子を ${\mathbf{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\mathbf{\sigma }}_i$ とする。系のハミルトニアンは
$$H=J\left({\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+{\mathbf{\sigma }}_2\cdot {\mathbf{\sigma }}_3+{\mathbf{\sigma }}_3\cdot {\mathbf{\sigma }}_1\right)(J>0)$$
で与えられ（$J$ はエネルギーの次元をもつ定数）、スピン以外の自由度は考えない。$S_{iz}$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する固有状態を $|\uparrow {⟩}_i$, $|\downarrow {⟩}_i$ と書く。

時刻 $t=0$ で系が状態 $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2|\downarrow {⟩}_3$ にあった。その後、系の状態 $|\psi (t)⟩$ はシュレーディンガー方程式
$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$$
に従って時間発展する（$\hslash$ は換算プランク定数で、$\hslash =1$ とはしない）。時刻 $t(\geqq 0)$ における粒子 3 のスピンの $z$ 成分の期待値 $⟨S_{3z}⟩(t)$ を、$\hslash$, $J$, $t$ を用いて表せ。

2 つのスピン $\frac{1}{2}$ の粒子 1, 2 からなる系を考える。粒子 $j$（$j=1,2$）のパウリ行列を ${\mathbf{\sigma }}_j=({\sigma }_{jx},{\sigma }_{jy},{\sigma }_{jz})$ とし、異なる粒子のパウリ行列どうしは交換する。系のハミルトニアンが
$$H=J{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+B\left({\sigma }_{1z}-{\sigma }_{2z}\right)$$
で与えられる。ここで $J>0$, $B>0$ はエネルギーの次元をもつ定数で、第 2 項は 2 つの粒子の位置で $z$ 方向の磁場が逆向きにかかっていることを表す。

$H$ の相異なる固有値をすべて求め、$J,B$ を用いて表せ。

2 準位系の正規直交基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、この基底でのパウリ行列を
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
とする（$|0⟩=(1,0{)}^T$, $|1⟩=(0,1{)}^T$）。系のハミルトニアンは時間によらず
$$H=\epsilon {\sigma }_z+\Delta {\sigma }_x$$
で与えられる。ここで $\epsilon$, $\Delta$ は正の実定数である。

時刻 $t=0$ に系が状態 $|0⟩$ にあったとき、時刻 $t(t\ge 0)$ に測定を行って系を状態 $|1⟩$ に見いだす確率を、$\epsilon$, $\Delta$, $t$, $\hslash$ を用いて表せ。ただし、時間発展はシュレーディンガー方程式 $i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$ に従うものとする。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とし、$S_z$ の固有値 $\pm \frac{\hslash }{2}$ の規格化された固有状態を基底 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ にとる。この基底でパウリ行列は
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
である（$i$ は虚数単位）。

$x$ 軸方向の一様な磁場の中で、粒子のスピンのハミルトニアンが
$$H=\omega S_x$$
で与えられる（$\omega$ は正の定数）。時刻 $t=0$ にスピンが $S_z=+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態にあったとき、時刻 $t(t\ge 0)$ に $S_z$ を測定して $-\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を、$\omega$ と $t$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a$ の円周上に束縛されて運動している。円周上の位置を角度 $\varphi$（$0\le \varphi <2\pi$）で表す。非摂動ハミルトニアンは
$$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}\frac{d^2}{d{\varphi }^2}$$
であり、周期境界条件 $\psi (\varphi +2\pi )=\psi (\varphi )$ のもとで、規格化された固有関数と固有値は
$${\psi }_n(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{in\varphi },E_n^{(0)}=\frac{n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$
である。この粒子に摂動
$$V(\varphi )=V_0\cos (2\varphi )$$
を加える。ここで $V_0$ は実数の定数で、$|V_0|\ll \frac{{\hslash }^2}{m{a}^2}$ とする。

摂動がないとき $n=\pm 2$ の 2 つの状態は縮退している（エネルギー $\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}$）。摂動を加えたとき、この縮退した準位から生じる 2 つの準位のエネルギーを、$V_0$ の 2 次までの摂動論で求めよ。答えは、エネルギーの大きい方、小さい方の順に組で、$m$, $a$, $\hslash$, $V_0$ を用いて表せ。