量子力学（角運動量・近似法）の問題

1. ハミルトニアンを全スピンで書き直す

全スピンを $\mathbf{S}={\mathbf{S}}_1+{\mathbf{S}}_2+{\mathbf{S}}_3=\frac{\hslash }{2}({\mathbf{\sigma }}_1+{\mathbf{\sigma }}_2+{\mathbf{\sigma }}_3)$ とする。異なる粒子のパウリ行列は可換であり、${\mathbf{\sigma }}_i^2={\sigma }_{ix}^2+{\sigma }_{iy}^2+{\sigma }_{iz}^2=3$ であるから
$${\mathbf{S}}^2=\frac{{\hslash }^2}{4}\left(9+2\sum _{i<j}{\mathbf{\sigma }}_i\cdot {\mathbf{\sigma }}_j\right)$$
となる。よって
$$H=J\left(\frac{2{\mathbf{S}}^2}{{\hslash }^2}-\frac{9}{2}\right)$$
である。${\mathbf{S}}^2$ の固有値を ${\hslash }^{2}S(S+1)$ とすると、エネルギーは $E=J\left(2S(S+1)-\frac{9}{2}\right)$ となる。$\frac{1}{2}\otimes \frac{1}{2}\otimes \frac{1}{2}=\frac{3}{2}\oplus \frac{1}{2}\oplus \frac{1}{2}$ より、可能なエネルギーは次の 2 つである。
- $S=\frac{3}{2}$ のとき $E=J\left(\frac{15}{2}-\frac{9}{2}\right)=3J$
- $S=\frac{1}{2}$ のとき $E=J\left(\frac{3}{2}-\frac{9}{2}\right)=-3J$

2. 初期状態の分解

$H$ は $S_z$ と可換なので、時間発展は $S_z=+\frac{\hslash }{2}$ の部分空間の中で起こる。この部分空間は
$$|a⟩=|\uparrow \uparrow \downarrow ⟩,|b⟩=|\uparrow \downarrow \uparrow ⟩,|c⟩=|\downarrow \uparrow \uparrow ⟩$$
で張られる 3 次元空間である。$S=\frac{3}{2},M=\frac{1}{2}$ の状態は、$|\uparrow \uparrow \uparrow ⟩$ に下降演算子 $S_{-}$ を作用させて得られる対称な状態
$$|W⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(|a⟩+|b⟩+|c⟩\right)$$
である。$|W⟩$ に直交する 2 次元部分空間は $S=\frac{1}{2}$ の状態からなり、そのエネルギーは $-3J$ である。初期状態は
$$|a⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}|W⟩+\left(|a⟩-\frac{1}{\sqrt{3}}|W⟩\right)$$
と分解できる。第 2 項は $|W⟩$ と直交するので、エネルギー $-3J$ の固有状態である。

3. 時間発展

シュレーディンガー方程式 $i\hslash \frac{d}{dt}|\psi ⟩=H|\psi ⟩$ より、エネルギー $E$ の固有状態は時間とともに $e^{-iEt/\hslash }$ の位相因子がつく。$\phi =\frac{3Jt}{\hslash }$ とおくと
$$|\psi (t)⟩=\frac{e^{-i\phi }}{\sqrt{3}}|W⟩+e^{i\phi }\left(|a⟩-\frac{1}{\sqrt{3}}|W⟩\right)$$
となる。$⟨a|W⟩=⟨b|W⟩=⟨c|W⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}$ を用いて各成分の振幅を求める。
$$⟨a|\psi (t)⟩=\frac{e^{-i\phi }}{3}+\frac{2e^{i\phi }}{3}$$
$$⟨b|\psi (t)⟩=⟨c|\psi (t)⟩=\frac{e^{-i\phi }}{3}-\frac{e^{i\phi }}{3}=-\frac{2i}{3}\sin \phi$$
したがって各状態を見いだす確率は
$$P_a=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\cos 2\phi =\frac{5}{9}+\frac{4}{9}\cos 2\phi ,P_b=P_c=\frac{4}{9}{\sin }^2\phi =\frac{2}{9}(1-\cos 2\phi )$$
である。確認すると $P_a+P_b+P_c=1$ となる。

4. 期待値

粒子 3 のスピンは、$|a⟩$ では $-\frac{\hslash }{2}$、$|b⟩$ と $|c⟩$ では $+\frac{\hslash }{2}$ である。よって
$$⟨S_{3z}⟩=\frac{\hslash }{2}\left(-P_a+P_b+P_c\right)=\frac{\hslash }{2}\left(-\frac{5}{9}-\frac{4}{9}\cos 2\phi +\frac{4}{9}-\frac{4}{9}\cos 2\phi \right)=\frac{\hslash }{2}\left(-\frac{1}{9}-\frac{8}{9}\cos 2\phi \right)$$
$2\phi =\frac{6Jt}{\hslash }$ を代入して
$$⟨S_{3z}⟩(t)=-\frac{\hslash }{18}\left(1+8\cos \frac{6Jt}{\hslash }\right)$$
を得る。$t=0$ では $-\frac{\hslash }{2}$ となり、初期条件と一致する。また、角振動数 $\frac{6J}{\hslash }$ は 2 つのエネルギー準位の差 $6J$ を $\hslash$ で割ったものになっている。

まず $H$ を全スピンで書き直す。全スピン ${\mathbf{S}}_{\mathrm{tot}}=\frac{\hslash }{2}{\sum }_i{\mathbf{\sigma }}_i$ について $S_{\mathrm{tot}}^2/{\hslash }^2=S(S+1)$ であり、$S_{\mathrm{tot}}^2/{\hslash }^2=\frac{9}{4}+\frac{1}{2}{\sum }_{i\ne j}{\mathbf{\sigma }}_i\cdot {\mathbf{\sigma }}_j\cdot \frac{1}{4}\cdot 2/2$ を整理すると ${\sum }_{i<j}{\mathbf{\sigma }}_i\cdot {\mathbf{\sigma }}_j=2S(S+1)-\frac{9}{2}$ となる。
- $S=3/2$ のとき $H=3J$（4 重項）
- $S=1/2$ のとき $H=-3J$（2 重項が 2 組、計 4 状態）

したがって $P$ を $S=3/2$ への射影演算子として $H=-3J+6JP$ と書ける。

$a=|\uparrow \uparrow \downarrow ⟩$, $b=|\uparrow \downarrow \uparrow ⟩$, $c=|\downarrow \uparrow \uparrow ⟩$ とおく。$S_z^{\mathrm{tot}}=\hslash /2$ の部分空間で、$S=3/2$ の状態は $|q⟩=(a+b+c)/\sqrt{3}$ である。よって $Pa=|q⟩⟨q|a⟩=(a+b+c)/3$。

時間発展は、全体の位相を除いて $e^{-iHt/\hslash }\propto 1+(e^{-i\theta }-1)P$（$\theta =6Jt/\hslash$）となる。初期状態 $a$ に作用させると
$|\psi (t)⟩\propto a+z(a+b+c)$, $z=(e^{-i\theta }-1)/3$。

粒子 3 が下向きなのは $a$ の成分のみで、その確率は
$P_{\downarrow }=|1+z{|}^2=|2+e^{-i\theta }{|}^2/9=(5+4\cos \theta )/9$。

$⟨S_{3z}⟩=\frac{\hslash }{2}(1-2P_{\downarrow })=\frac{\hslash }{2}\cdot \frac{-1-8\cos \theta }{9}=-\frac{\hslash }{18}\left(1+8\cos \frac{6Jt}{\hslash }\right)$。

検算：$t=0$ で $-\hslash /2$（初期状態で粒子 3 は下向き）となり一致する。また $\theta =\pi$ では $P_{\downarrow }=1/9$ で、$⟨S_{3z}⟩=7\hslash /18$ となる。これは $-\frac{\hslash }{18}(1-8)$ に等しい。