量子力学（角運動量・近似法）の問題

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とし、$S_z$ の固有値 $\pm \frac{\hslash }{2}$ の規格化された固有状態を基底 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ にとる。この基底でパウリ行列は
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
である（$i$ は虚数単位）。

$x$ 軸方向の一様な磁場の中で、粒子のスピンのハミルトニアンが
$$H=\omega S_x$$
で与えられる（$\omega$ は正の定数）。時刻 $t=0$ にスピンが $S_z=+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態にあったとき、時刻 $t(t\ge 0)$ に $S_z$ を測定して $-\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を、$\omega$ と $t$ を用いて表せ。

2 準位系の基底を $|1⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $|2⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ とし、ハミルトニアンを
$$H=\epsilon {\sigma }_z+\Delta {\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}\epsilon & \Delta \\ \Delta & -\epsilon \end{array}\right)$$
とする。ここで $\Delta >0$ で、$\epsilon =\sqrt{3}\Delta$ とする。

時刻 $t=0$ に系が状態 $|1⟩$ にあったとき、時刻 $t=\frac{\pi \hslash }{12\Delta }$ に系を状態 $|2⟩$ に見いだす確率を既約分数で求めよ。

空間的に固定された 2 つの電子（スピン $\frac{1}{2}$）を考え、軌道の自由度は無視する。電子 $1$, $2$ のパウリ行列をそれぞれ ${\mathbf{\sigma }}^{(1)}$, ${\mathbf{\sigma }}^{(2)}$ とし、ハミルトニアンを
$$H=J{\mathbf{\sigma }}^{(1)}\cdot {\mathbf{\sigma }}^{(2)}+b\left({\sigma }_z^{(1)}-{\sigma }_z^{(2)}\right)$$
とする。ここで $J>0$, $b>0$ はエネルギーの次元をもつ実定数である（$J$ は交換相互作用、$b$ は 2 つの電子の位置での磁場の違いによる項を表す）。${\sigma }_z$ の固有値 $+1$, $-1$ に属する 1 粒子の規格化された固有状態を $|\uparrow ⟩$, $|\downarrow ⟩$ とし、2 粒子の状態を $|\uparrow \downarrow ⟩=|\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2$ などと書く。

時刻 $t=0$ に系は状態 $|\uparrow \downarrow ⟩$ にあった。その後この系はハミルトニアン $H$ のもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。時刻 $t(>0)$ に 2 つの電子の ${\sigma }_z$ を同時に測定したとき、状態 $|\downarrow \uparrow ⟩$ が得られる確率を、$J$, $b$, $t$, $\hslash$ を用いて表せ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $\mathbf{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ は、${\sigma }_z$ の固有状態 $|\uparrow ⟩$（固有値 $+1$）, $|\downarrow ⟩$（固有値 $-1$）を基底として
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
と表されるパウリ行列である。

$xz$ 平面内で $z$ 軸から $x$ 軸の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ傾いた単位ベクトル $\mathbf{n}=\left(\sin \frac{\pi }{3},0,\cos \frac{\pi }{3}\right)$ の向きのスピン成分 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{S}$ について、固有値 $+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態に粒子を用意した。この状態で $S_x$ を測定したとき、$+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $S_z$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する規格化された固有状態を基底 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ にとり、パウリ行列は
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
とする（$i$ は虚数単位）。

粒子のスピン状態が
$$\chi =\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\ i\end{array}\right)$$
であるとき、$S_y$ を測定して $+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。