スピン 1/2 とパウリ行列

パウリ行列で表したスピン演算子 $S = \frac{ℏ}{2} σ$ の固有値・固有ベクトルを求め、与えられたスピン状態で $S_{x}, S_{y}, S_{z}$ を測定したときの確率や期待値を計算できる

前提

エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））

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算数中学高校大学大学院

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掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
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エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
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波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

電子のスピンのように、測定すると $+ \frac{ℏ}{2}$ か $- \frac{ℏ}{2}$ の 2 通りの値しか出ない量は、2 成分の複素ベクトル（スピノル） $χ = (a b)$ と $2 \times 2$ のエルミート行列で表せます。この技能では、パウリ行列を使ったスピン演算子 $S_{x}, S_{y}, S_{z}$ の固有値・固有ベクトルを求め、与えられた状態で各成分を測ったときにどちらの値がどんな確率で出るか、平均（期待値）はいくらかを計算できるようになります。シュテルン・ゲルラッハ実験や磁場中のスピンなど、2 状態の量子系を扱う場面の基本になります。

なぜそうしてよいのか

スピン 1/2 の状態は、 $z$ 方向に上向き・下向きの 2 つの基底状態の重ね合わせ $χ = a (10) + b (01)$ で表され、規格化条件は $χ^{*} χ = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} = 1$ です（ $χ^{*}$ は転置して複素共役をとった行ベクトル）。波動関数の確率解釈で積分 $\int ψ^{*} ψ d x = 1$ としていたものが、2 成分の和に置き換わったと考えればよいです。同様に期待値 $\int ψ^{*} A^ψ d x$ は $χ^{*} A χ$ になります。

スピン演算子はパウリ行列
$σ_{x} = (0110), σ_{y} = (0 i - i 0), σ_{z} = (10 0 - 1)$
を使って $S_{k} = \frac{ℏ}{2} σ_{k}$ （ $k = x, y, z$ ）と表されます。3 つともエルミート行列（ $σ_{k}^{*} = σ_{k}$ ）なので固有値は実数で、異なる固有値の固有ベクトルは直交します。さらに $σ_{k}^{2} = I$ （単位行列）かつ対角成分の和が $0$ なので、どの $σ_{k}$ も固有値は $+ 1$ と $- 1$ です。したがって $S_{x}, S_{y}, S_{z}$ のどれを測っても、出る値は $\pm \frac{ℏ}{2}$ のどちらかです。

測定で固有値 $λ$ が出る確率は、規格化した固有ベクトル $e_{λ}$ と状態 $χ$ の内積の絶対値の 2 乗 $∣ e_{λ}^{*} χ ∣^{2}$ です。2 つの固有ベクトル $e_{+}, e_{-}$ は正規直交基底をなすので $χ = (e_{+}^{*} χ) e_{+} + (e_{-}^{*} χ) e_{-}$ と展開でき、規格化から $∣ e_{+}^{*} χ ∣^{2} + ∣ e_{-}^{*} χ ∣^{2} = 1$ となって、確率の合計がきちんと 1 になります。期待値は「値 × 確率」の和 $\frac{ℏ}{2} P_{+} - \frac{ℏ}{2} P_{-}$ で、これは $χ^{*} S χ$ と一致します。

手順

状態 $χ = (a b)$ が規格化されているか確かめる。 $∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} \neq = 1$ なら $∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}$ で割って規格化する
測る成分のスピン演算子 $S_{k} = \frac{ℏ}{2} σ_{k}$ を書き、固有値 $\pm \frac{ℏ}{2}$ に対する規格化した固有ベクトルを求める。 $S_{z}$ : $(10), (01)$ 、 $S_{x}$ : $\frac{1}{2} (1 \pm 1)$ 、 $S_{y}$ : $\frac{1}{2} (1 \pm i)$ （複号同順で $+ ℏ/2$ , $- ℏ/2$ ）
確率振幅 $e_{\pm}^{*} χ$ を計算する。このとき固有ベクトルの成分は複素共役をとる
確率 $P_{\pm} = ∣ e_{\pm}^{*} χ ∣^{2}$ を求め、 $P_{+} + P_{-} = 1$ を確かめる
期待値が必要なら $⟨ S_{k} ⟩ = \frac{ℏ}{2} (P_{+} - P_{-})$ 、または $⟨ S_{k} ⟩ = χ^{*} S_{k} χ$ で計算する

例題

スピン 1/2 の粒子が状態 $χ = \frac{1}{5} (12)$ （ $S_{z}$ の固有状態を基底とする成分表示）にある。スピン演算子を $S_{x} = \frac{ℏ}{2} (0110)$ とする。 $S_{x}$ を測定したとき、値 $+ \frac{ℏ}{2}$ が得られる確率を求めよ。

例題の解答

手順 1（規格化の確認）: $\frac{1}{5}^{2} + \frac{2}{5}^{2} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$ なので規格化されている。

手順 2（固有ベクトル）: $σ_{x}$ の固有値 $+ 1$ の固有ベクトルは $(0110) (u v) = (u v)$ から $v = u$ 。規格化して $e_{+} = \frac{1}{2} (11)$ 。これが $S_{x}$ の固有値 $+ \frac{ℏ}{2}$ の固有ベクトルである。

手順 3（確率振幅）: $e_{+}$ の成分は実数なので共役をとっても変わらず、
$e_{+}^{*} χ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} (1 \cdot 1 + 1 \cdot 2) = \frac{3}{10} .$

手順 4（確率）: $P_{+} = \frac{3}{10}^{2} = \frac{9}{10}$ 。確認として $e_{-} = \frac{1}{2} (1 - 1)$ では $e_{-}^{*} χ = \frac{1 - 2}{10} = - \frac{1}{10}$ 、 $P_{-} = \frac{1}{10}$ で、 $P_{+} + P_{-} = 1$ となっている。

よって求める確率は $\frac{9}{10}$ 。

答え: $\frac{9}{10}$

よくある誤り

固有値を $\pm 1$ と答えてしまう誤り。 $\pm 1$ はパウリ行列 $σ_{k}$ の固有値で、測定値であるスピン演算子 $S_{k} = \frac{ℏ}{2} σ_{k}$ の固有値は $\pm \frac{ℏ}{2}$ である
内積で複素共役をとり忘れる誤り。たとえば $e_{+} = \frac{1}{2} (1 i)$ と $χ = \frac{1}{2} (1 i)$ の振幅を $\frac{1}{2} (1 + i \cdot i) = 0$ としてしまう。正しくは $e_{+}^{*} χ = \frac{1}{2} (1 \cdot 1 + i \cdot i) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1$ で、確率は 1
状態や固有ベクトルを規格化せずに確率を出してしまう誤り。 $χ = (12)$ , $e_{+} = (11)$ のまま計算すると $∣1 + 2 ∣^{2} = 9$ となり確率が 1 を超える。正しくはそれぞれ $5$ , $2$ で割って $\frac{9}{10}$
確率振幅そのものを確率としてしまう誤り。振幅 $e_{+}^{*} χ = \frac{3}{10}$ は確率ではなく、確率は絶対値の 2 乗 $\frac{3}{10}^{2} = \frac{9}{10}$ である（振幅が複素数 $c$ なら $∣ c ∣^{2} = c c$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
スピン $1/2$ の粒子のスピン演算子を $S = \frac{ℏ}{2} σ$ とし、 $S_{z}$ の固有状態を基底とする表示で、パウリ行列の $x$ 成分を
$σ_{x} = (0110)$
とする。粒子のスピン状態が
$χ = \frac{1}{5} (34)$
であるとき、 $S_{x}$ を測定して $+ \frac{ℏ}{2}$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 準位系の時間発展（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
2 つのスピンの結合（一重項と三重項）（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）
スタビライザー符号（大学院物理量子情報・量子計算）
ウィグナーの D 関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
断熱定理とベリー位相（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））