ディラック方程式と自由粒子の解

ディラック方程式 $(i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} - m c) ψ = 0$ （またはハミルトニアン形 $H = c α \cdot p + β m c^{2}$ ）のディラック表示の行列を使い、平面波解のエネルギー $\pm p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ とスピノルの上下成分の比、確率密度・流れ、ヘリシティを求められる

前提

相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

ディラック方程式は、スピン 1/2 の粒子（電子など）を相対論的に扱う、時間について 1 階の波動方程式です。ハミルトニアン形 $H = c α \cdot p + β m c^{2}$ の $4 \times 4$ 行列 $α, β$ をディラック表示で具体的に書くと、自由粒子の平面波解が 2 行 2 列のパウリ行列の計算に帰着します。これにより、エネルギーが $E = \pm p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ の 2 種類になること、4 成分スピノルの上 2 成分と下 2 成分の比、確率密度 $ρ = ψ^{†} ψ$ と確率の流れ $j = c ψ^{†} α ψ$ 、運動方向へのスピンの射影（ヘリシティ）を具体的に求められます。

なぜそうしてよいのか

シュレーディンガー方程式のように時間について 1 階の式 $i ℏ \partial_{t} ψ = H ψ$ にすると、確率密度を $ψ^{†} ψ \geq 0$ ととれます。相対論と合わせるには空間微分（運動量 $p = - i ℏ\nabla$ ）についても 1 次の $H = c α \cdot p + β m c^{2}$ とし、これを 2 回作用させたとき $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ が出るようにします。 $H^{2}$ を展開すると、交差項が消えて $H^{2} = c^{2} p^{2} + m^{2} c^{4}$ となる条件は
$α_{i}^{2} = β^{2} = 1, α_{i} α_{j} + α_{j} α_{i} = 0 (i \neq = j), α_{i} β + β α_{i} = 0$
です。数ではこれを満たせず、エルミートな行列で満たす最小のものは $4 \times 4$ で、ディラック表示では $2 \times 2$ のブロックで
$α_{i} = (0 σ_{i} σ_{i} 0), β = (10 0 - 1)$
ととります（ $σ_{i}$ はパウリ行列。パウリ行列の性質 $σ_{i}^{2} = 1$ 、 $σ_{i} σ_{j} + σ_{j} σ_{i} = 0$ から上の条件が確かめられます）。 $γ^{0} = β$ 、 $γ^{i} = β α_{i}$ とおき、 $x^{0} = c t$ 、計量 $(+, -, -, -)$ で書いたのが共変形 $(i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} - m c) ψ = 0$ です。

平面波 $ψ = w e^{i (p \cdot r - E t) /ℏ}$ 、 $w = (φ χ)$ （ $φ, χ$ は 2 成分）を代入すると
$(E - m c^{2}) φ = c σ \cdot p χ, (E + m c^{2}) χ = c σ \cdot p φ .$
2 式を組み合わせ $(σ \cdot p)^{2} = p^{2}$ を使うと $(E^{2} - m^{2} c^{4}) φ = c^{2} p^{2} φ$ なので $E = \pm p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ です。正エネルギーなら $E + m c^{2} > 0$ で割れて $χ = \frac{c σ \cdot p}{E + m c ^{2}} φ$ 、負エネルギーなら $E - m c^{2} \neq = 0$ で割って $φ = \frac{c σ \cdot p}{E - m c ^{2}} χ$ と書きます。静止に近い正エネルギー解では下成分は $\frac{p c}{2 m c ^{2}}$ 程度と小さく、上成分が非相対論的なパウリスピノルに対応します。

また方程式とその共役から $\partial_{t} ρ + \nabla \cdot j = 0$ （ $ρ = ψ^{†} ψ$ 、 $j = c ψ^{†} α ψ$ ）が導かれ、 $ρ$ は確率密度と解釈できます。スピンは $Σ = (σ 0 0 σ)$ を使って $\frac{ℏ}{2} Σ$ で表され、運動方向への射影 $h = Σ \cdot p^$ （ヘリシティ、固有値 $\pm 1$ ）は $H$ と交換するので、平面波解を $h$ の固有状態に選べます。

手順

ディラック表示の $α_{i}, β$ を書き、平面波 $ψ = (φ χ) e^{i (p \cdot r - E t) /ℏ}$ を代入して上下の 2 成分の連立式 $(E - m c^{2}) φ = c σ \cdot p χ$ 、 $(E + m c^{2}) χ = c σ \cdot p φ$ を作る
$(σ \cdot p)^{2} = p^{2}$ を使ってエネルギー $E = \pm p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ を求める
正エネルギーなら $χ = \frac{c σ \cdot p}{E + m c ^{2}} φ$ として、与えられた $φ$ （スピンの向き）から下成分を計算する（負エネルギーなら $φ = \frac{c σ \cdot p}{E - m c ^{2}} χ$ ）
必要に応じて確率密度 $ρ = ψ^{†} ψ$ 、流れ $j = c ψ^{†} α ψ$ を計算する（正エネルギーの平面波では $j / ρ = \frac{p c ^{2}}{E}$ で、粒子の速度になる）
ヘリシティは $h = Σ \cdot p^$ の固有値 $\pm 1$ として、 $φ$ が $σ \cdot p^$ の固有ベクトルかどうかで判定する

例題

質量 $m$ の粒子のディラック方程式 $i ℏ \partial_{t} ψ = (c α \cdot p + β m c^{2}) ψ$ を、ディラック表示
$α_{i} = (0 σ_{i} σ_{i} 0), β = (10 0 - 1)$
（ $σ_{i}$ はパウリ行列、 $σ_{z} = diag (1, - 1)$ ）で考える。運動量 $p = (0, 0, p)$ 、 $p = m c$ をもつ正エネルギーの平面波解 $ψ = u e^{i (p z - E t) /ℏ}$ で、スピノルが $u = (1, 0, u_{3}, u_{4})^{T}$ の形（上 2 成分が $σ_{z}$ の固有値 $+ 1$ の固有ベクトル $(1, 0)^{T}$ ）であるとき、第 3 成分 $u_{3}$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1： $u = (φ χ)$ 、 $φ = (10)$ 、 $χ = (u_{3} u_{4})$ とおくと、下の式は $(E + m c^{2}) χ = c σ \cdot p φ = c p σ_{z} φ$ 。

手順 2： $E = + p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ に $p = m c$ を入れて $E = 2 m c^{2}$ 。

手順 3： $σ_{z} φ = (10)$ なので
$χ = \frac{c p}{E + m c ^{2}} (10) = \frac{m c ^{2}}{( 2 + 1 ) m c ^{2}} (10) = \frac{1}{2 + 1} (10) .$
よって $u_{4} = 0$ 、 $u_{3} = \frac{1}{2 + 1} = 2 - 1$ （分母を有理化）。

（確認：上の式 $(E - m c^{2}) φ = c p σ_{z} χ$ の第 1 成分は左辺 $(2 - 1) m c^{2}$ 、右辺 $m c^{2} (2 - 1)$ で一致する。 $φ$ が $σ_{z} = σ \cdot p^$ の固有値 $+ 1$ の固有ベクトルなので、この解はヘリシティ $+ 1$ である。）

答え: $2 - 1$

よくある誤り

正エネルギー解の下成分を $χ = \frac{c σ \cdot p}{E - m c ^{2}} φ$ と分母を取り違える誤り。上の例なら $\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1 > 1$ となり、下成分が上成分より大きくなってしまう。正しくは下の式 $(E + m c^{2}) χ = c σ \cdot p φ$ から $χ = \frac{c σ \cdot p}{E + m c ^{2}} φ$ （ $p \to 0$ で $χ \to 0$ ）。
$σ \cdot p$ を数 $p$ と同じに扱い、 $p$ が $z$ 方向でないときも $χ = \frac{c p}{E + m c ^{2}} φ$ としてしまう誤り。 $σ \cdot p = (p_{z} p_{x} + i p_{y} p_{x} - i p_{y} - p_{z})$ は行列で、例えば $p = (p, 0, 0)$ 、 $φ = (1, 0)^{T}$ なら $χ = \frac{c p}{E + m c ^{2}} (0, 1)^{T}$ と成分が入れ替わる。
確率密度を $ρ = ψ^{†} β ψ$ （ $= ∣ φ ∣^{2} - ∣ χ ∣^{2}$ ）としてしまう誤り。連続の式 $\partial_{t} ρ + \nabla \cdot j = 0$ を満たし正になるのは $ρ = ψ^{†} ψ = ∣ φ ∣^{2} + ∣ χ ∣^{2}$ で、流れは $j = c ψ^{†} α ψ$ 。
負エネルギー解を捨てて $E = + p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ だけが固有値だとしてしまう誤り。 $(E^{2} - m^{2} c^{4}) φ = c^{2} p^{2} φ$ から両方の符号が出て、各運動量に $E = +$ と $E = -$ の解がそれぞれスピンの 2 状態ずつ、合計 4 つある（ $4 \times 4$ 行列の固有値 4 個）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ の自由なディラック粒子のハミルトニアンを
$H = c α \cdot p + β m c^{2}, α_{i} = (0 σ_{i} σ_{i} 0), β = (I_{2} 0 0 - I_{2})$
（ディラック表示、 $σ_{i}$ はパウリ行列、 $I_{2}$ は 2 次の単位行列）とする。運動量が $z$ 軸の正の向きで大きさ $p = \frac{3}{4} m c$ の平面波解 $ψ = u e^{i (p z - E t) /ℏ}$ を考える。
正のエネルギー $E > 0$ をもち、4 成分スピノル $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4})^{T}$ の上 2 成分が $(u_{1}, u_{2}) = (1, 0)$ に比例する解について、比 $\frac{u _{3}}{u _{1}}$ を求めよ。

この技能の次に学べること

ディラック行列のトレースと縮約恒等式（大学院物理場の量子論）
ファインマン則と樹木図の散乱振幅（大学院物理場の量子論）
ディラック方程式の非相対論的極限（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
ディラック方程式による水素型原子の準位（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））