時間の遅れと固有時

運動する時計の固有時 $τ$ と、それが動いて見える慣性系での経過時間 $Δ t = γ τ$ の関係を使って、不安定粒子の寿命や、その間に進む距離 $γ v τ$ を求められる

前提

ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

説明

時計（または粒子）といっしょに動く慣性系で測った時間を固有時 $τ$ といいます。その時計が速さ $v$ で動いて見える慣性系では、同じ 2 つの出来事の間の時間が $Δ t = γ τ$ （ $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \geq 1$ ）と長くなり、動いている時計はゆっくり進むように見えます。これを使って、高速で飛ぶ不安定な粒子が実験室で生きている時間や、その間に進む距離 $v Δ t = γ v τ$ を求められます。宇宙線のミューオンが地上まで届く理由などを説明するときに使います。

なぜそうしてよいのか

時計が静止している慣性系を S'、その時計が $x$ 軸の正の向きに速さ $v$ で動いて見える慣性系を S とします。時計は S' の原点 $x^{'} = 0$ に置かれていて、 $t = t^{'} = 0$ に両方の原点が重なっているとします。S から見ると時計は $x = v t$ にあるので、時計の位置での S' の時刻はローレンツ変換から
$t^{'} = γ (t - \frac{v \cdot v t}{c ^{2}}) = γ (1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}) t = \frac{t}{γ}$
です。時計自身が示す時刻は $t^{'}$ なので、時計が $τ$ だけ進む間に S では $Δ t = γ τ$ だけ時間がたちます。 $γ > 1$ （ $v \neq = 0$ のとき）なので、S から見ると動く時計は遅れます。

世界間隔を使っても同じ結果になります。時計の上で起きた 2 つの事象（たとえば粒子の生成と崩壊）について、S' では同じ場所なので $Δ x^{'} = 0$ 、 $Δ t^{'} = τ$ です。S では $Δ x = v Δ t$ なので、世界間隔の不変性 $c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} = c^{2} τ^{2}$ より $(c^{2} - v^{2}) Δ t^{2} = c^{2} τ^{2}$ 、つまり $Δ t = γ τ$ です。この形から、固有時は「同じ場所で起きた 2 つの事象の間の時間」で、どの慣性系から見ても値が決まった量であることがわかります。ほかの慣性系での時間は必ずこれ以上になります。

不安定粒子の寿命として表にのっている値は、粒子が静止している系での値（固有時）です。実験室で速さ $v$ で飛ぶ粒子は、実験室の時計で $γ τ$ だけ生きるので、その間に進む距離は $v \cdot γ τ$ です。

手順

どの時間が固有時 $τ$ （時計や粒子が静止している系で、同じ場所で測った時間）かを見きわめる
時計が動いて見える慣性系での速さ $v$ から $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を計算する
その系での経過時間を $Δ t = γ τ$ で求める
進む距離が必要なら $d = v Δ t = γ v τ$ を計算し、問題の指定どおりに有効数字をそろえる

例題

静止しているときの平均寿命が $τ = 2.1 \times 1 0^{- 6}$ s の粒子が、実験室に対して速さ $v = 0.96 c$ で直線上を飛んでいる。光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8}$ m/s とする。この粒子が実験室で平均寿命の間に進む距離は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $τ = 2.1 \times 1 0^{- 6}$ s は粒子が静止している系での時間なので固有時。

【手順 2】 $\frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 0.9 6^{2} = 0.9216$ より $1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 0.0784 = 0.2 8^{2}$ 。よって $γ = \frac{1}{0.28} = \frac{25}{7}$ 。

【手順 3】実験室での平均寿命は $Δ t = γ τ = \frac{25}{7} \times 2.1 \times 1 0^{- 6} = 7.5 \times 1 0^{- 6}$ s。

【手順 4】進む距離は
$d = v Δ t = 0.96 \times 3.0 \times 1 0^{8} \times 7.5 \times 1 0^{- 6} = 2160 m$
有効数字 2 桁で $2.2 \times 1 0^{3}$ m。（時間の遅れを考えずに $v τ$ とすると約 $6.0 \times 1 0^{2}$ m にしかならない。）

答え: $2.2 \times 1 0^{3}$

よくある誤り

動いている粒子の寿命を $\frac{τ}{γ}$ と短くしてしまう誤り。動いて見える系では時計が遅れるので、生きている時間は長くなり $Δ t = γ τ$ （ $γ \geq 1$ ）
固有時と取り違え、実験室で測った時間を $τ$ とおいてさらに $γ$ を掛けてしまう誤り。固有時は時計や粒子が静止している系で、同じ場所で起きた 2 つの事象の間の時間で、粒子の寿命の表の値がこれにあたる
進む距離を $v τ$ としてしまう誤り。実験室での距離は実験室での時間を使って $d = v Δ t = γ v τ$ （上の例で $v τ \approx 6.0 \times 1 0^{2}$ m ではなく $2.2 \times 1 0^{3}$ m）
$γ$ を $\frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ や $1 - v^{2} / c^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ （ $v = 0.96 c$ なら $\frac{25}{7}$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $τ = 2.0 \times 1 0^{- 8} s$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v = \frac{12}{13} c$ で一直線上を運動している。光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。
粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $m$ 単位の正確な値で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

相対論的ドップラー効果（大学物理特殊相対論）
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）
固有時と重力赤方偏移（大学院物理一般相対論）