相対論的エネルギーと運動量

$E = γ m c^{2}$ , $p = γ m v$ , 運動エネルギー $K = (γ - 1) m c^{2}$ と関係式 $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ （光子では $E = p c$ ）を使って、粒子の速さ・運動量・エネルギーを相互に求められる

前提

時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）

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算数中学高校大学大学院

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分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流が磁場から受ける力（フレミングの左手の法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
ローレンツ力（高校物理電磁気と交流（知識））
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
陰極線と電気素量（高校物理原子（知識））
ラザフォードの原子模型（高校物理原子（知識））
原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）

説明

光の速さに近い速さで運動する粒子のエネルギーと運動量を正しく扱う技能です。質量 $m$ 、速さ $v$ の粒子について $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ として、全エネルギー $E = γ m c^{2}$ 、運動量 $p = γ m v$ 、運動エネルギー $K = (γ - 1) m c^{2}$ を使います。さらに $v$ を含まない関係式 $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ を使うと、速さ・運動量・エネルギーのどれか 1 つから残りを求められます。加速器の粒子、宇宙線、光子（ $m = 0$ で $E = p c$ ）などを扱うときに使います。

なぜそうしてよいのか

運動量を $m v$ のままにすると、ローレンツ変換で移った別の慣性系では衝突の前後で運動量の和が保存されなくなってしまいます。そこで、変位を「その粒子自身の時計の時間（固有時）」 $Δ τ$ で割ります。時間の遅れ $Δ t = γ Δ τ$ より $\frac{Δ x}{Δ τ} = γ \frac{Δ x}{Δ t} = γ v$ なので、 $p = γ m v$ とすると、どの慣性系でも保存則が成り立つように作れます。同じように時間の向きの量として $E = γ m c^{2}$ がエネルギーの役割をもちます。静止しているとき（ $γ = 1$ ）でも $E = m c^{2}$ が残り、これが静止エネルギーです。

運動エネルギーは全エネルギーから静止エネルギーを引いたもので $K = E - m c^{2} = (γ - 1) m c^{2}$ です。 $γ^{2} - 1 = γ^{2} β^{2}$ （ $β = v / c$ ）を使うと
$K = \frac{γ ^{2} - 1}{γ + 1} m c^{2} = \frac{γ ^{2}}{γ + 1} m v^{2}$
となり、 $v ≪ c$ では $γ \approx 1$ なので $K \approx \frac{1}{2} m v^{2}$ とニュートン力学の値に戻ります。

$E$ と $p$ から $v$ を消すには、 $γ^{2} (1 - β^{2}) = 1$ を使います。両辺に $(m c^{2})^{2}$ をかけると
$(γ m c^{2})^{2} - (γ m v c)^{2} = (m c^{2})^{2} ⟹ E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$
です。また $\frac{p c}{E} = \frac{γ m v c}{γ m c ^{2}} = \frac{v}{c}$ も成り立ちます。質量 0 の光子では $E = p c$ となり、 $E = h ν$ , $p = h / λ$ と $c = ν λ$ に合っています。

手順

与えられた量（速さ、運動エネルギー、全エネルギー、運動量のどれか）と、静止エネルギー $m c^{2}$ を書き出す
速さが与えられたら $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を計算し、エネルギーが与えられたら $γ = \frac{E}{m c ^{2}} = 1 + \frac{K}{m c ^{2}}$ で $γ$ を求める
$E = γ m c^{2}$ 、 $K = (γ - 1) m c^{2}$ 、 $p = γ m v$ のうち必要なものを計算する
運動量とエネルギーの間を行き来するときは $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ を使い、速さは $\frac{v}{c} = \frac{p c}{E}$ または $\frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}}$ で求める
光子（ $m = 0$ ）なら $E = p c$ を使う。結果が $v < c$ になっていることを確かめる

例題

質量 $m$ の粒子が加速され、その運動エネルギーが静止エネルギー $m c^{2}$ と等しくなった。このときの粒子の速さは真空中の光の速さ $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で求めよ。

例題の解答

手順1: $K = m c^{2}$ 、静止エネルギーは $m c^{2}$ である。

手順2: $γ = 1 + \frac{K}{m c ^{2}} = 1 + 1 = 2$ 。

手順3: 全エネルギーは $E = γ m c^{2} = 2 m c^{2}$ 。

手順4: $\frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$
（ $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ から $p c = 4 - 1 m c^{2} = 3 m c^{2}$ 、 $\frac{v}{c} = \frac{p c}{E} = \frac{3}{2}$ としても同じ。）

手順5: $\frac{3}{2} \approx 0.87 < 1$ で、光の速さを超えていない。

よって速さは $c$ の $\frac{3}{2}$ 倍である。

答え: $\frac{3}{2}$

よくある誤り

運動エネルギーにニュートン力学の $\frac{1}{2} m v^{2}$ を使ってしまう誤り。例題で $\frac{1}{2} m v^{2} = m c^{2}$ とすると $v = 2 c > c$ となって矛盾する。正しくは $K = (γ - 1) m c^{2}$ である。
全エネルギー $E = γ m c^{2}$ と運動エネルギー $K = (γ - 1) m c^{2}$ を混同する誤り。 $γ = \frac{E}{m c ^{2}}$ であって $\frac{K}{m c ^{2}}$ ではない。例題では $γ = 1$ ではなく $γ = 2$ である。
関係式を $E = p c + m c^{2}$ と足し算にしてしまう誤り。正しくは 2 乗の和 $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ で、 $E = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ である。 $E = p c$ が成り立つのは質量 0 の光子のときだけ。
運動量を $p = m v$ のままにしてしまう誤り。正しくは $p = γ m v$ で、 $\frac{v}{c} = \frac{p c}{E}$ も $p = γ m v$ と $E = γ m c^{2}$ を組にしたときに成り立つ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
静止エネルギーが $m c^{2} = 300 MeV$ の粒子が、加速器で加速されて運動エネルギー $K = 200 MeV$ をもって直線運動している。 $c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
関係式 $E = K + m c^{2}$ と $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ を用いて、この粒子の運動量の大きさ $p$ に $c$ を掛けた量 $p c$ を $MeV$ 単位で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

4 元運動量とそのローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
フェルミ結合定数とミューオン崩壊の幅（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
真空中のニュートリノ振動の確率（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
リエナールの公式（相対論的な全放射パワー）（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））