フェルミ結合定数とミューオン崩壊の幅

$W$ 交換を低エネルギーで 4 点相互作用に置き換えて $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}} = \frac{1}{2 v ^{2}}$ を導き、ミューオンの崩壊幅 $Γ = \frac{G _{F}^{2} m _{μ}^{5}}{192 π ^{3}}$ を使って寿命や、質量・結合を変えたときの崩壊幅の比を求められる

前提

ヒッグス機構とゲージボソンの質量（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

説明

ミューオン崩壊 $μ^{-} \to e^{-} ν ˉ_{e} ν_{μ}$ のような低エネルギーの弱い過程では、運ばれる運動量が $W$ の質量よりはるかに小さいので、 $W$ の交換を 4 つのフェルミオンが 1 点で相互作用する形（フェルミ相互作用）に置き換えられます。その強さを表すのがフェルミ結合定数 $G_{F}$ で、 $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}} = \frac{1}{2 v ^{2}}$ と電弱理論のパラメータに結びつきます。さらにミューオンの崩壊幅 $Γ = \frac{G _{F}^{2} m _{μ}^{5}}{192 π ^{3}}$ を使えば、寿命を計算したり、質量や結合を変えたときに崩壊幅が何倍になるかを求めたりできます。

なぜそうしてよいのか

自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ で考えます。レプトンと $W$ の結合は $L = \frac{g}{2 2} W_{μ}^{+} ν ˉ γ^{μ} (1 - γ^{5}) ℓ + h.c.$ です（ $\frac{1}{2} (1 - γ^{5})$ は左巻き成分を取り出す射影で、 $S U (2)$ の生成子 $T^{\pm} / 2$ から $\frac{g}{2}$ が出ます）。ミューオン崩壊では、この頂点 2 つを $W$ の伝播関数 $\frac{- i ( g _{μν} - q _{μ} q _{ν} / M _{W}^{2} )}{q ^{2} - M _{W}^{2}}$ でつなぎます。運ばれる 4 元運動量の 2 乗は $q^{2} \leq m_{μ}^{2}$ で $M_{W}^{2}$ に比べて桁違いに小さいので、 $q^{2}$ と $q_{μ} q_{ν} / M_{W}^{2}$ を落として伝播関数を $\frac{i g _{μν}}{M _{W}^{2}}$ と置き換えられます。これは「 $W$ がほとんど進まずに 1 点で吸収される」ことに当たり、結果は 4 フェルミオンの 1 点相互作用
$L_{eff} = - \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}} [ν ˉ_{μ} γ^{μ} (1 - γ^{5}) μ] [e ˉ γ_{μ} (1 - γ^{5}) ν_{e}]$
になります。これを歴史的な形 $- \frac{G _{F}}{2} [\dots] [\dots]$ と比べて $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}}$ 。前提の技能の $M_{W} = \frac{g v}{2}$ を代入すると $g$ が消えて $\frac{G _{F}}{2} = \frac{1}{2 v ^{2}}$ 、つまり $v = (2 G_{F})^{- 1/2} \approx 246 GeV$ と、ミューオンの寿命からヒッグスの真空期待値が決まります。

崩壊幅の形は次元で理解できます。 $G_{F}$ は質量次元 $- 2$ 、崩壊幅は質量次元 $+ 1$ で、幅は振幅の 2 乗なので $G_{F}^{2}$ に比例します。電子とニュートリノの質量を無視すると、残るスケールは $m_{μ}$ だけなので $Γ \propto G_{F}^{2} m_{μ}^{5}$ でなければなりません。係数 $\frac{1}{192 π ^{3}}$ は 3 体の位相空間を積分して出る数で、ここでは結果として使います。この $m^{5}$ の強い依存性のため、重い粒子ほど弱い崩壊がずっと速くなります。寿命は $τ = \frac{1}{Γ}$ （通常の単位では $τ = ℏ/Γ$ ）です。

手順

過程の運動量移行が $q^{2} ≪ M_{W}^{2}$ であることを確かめ、 $W$ 交換を 4 点相互作用に置き換える: $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}}$
必要なら $M_{W} = \frac{g v}{2}$ を使って $\frac{G _{F}}{2} = \frac{1}{2 v ^{2}}$ と書き換え、 $G_{F}$ が $g$ や $M_{W}$ を変えたときにどう変わるかを調べる
崩壊幅の式 $Γ = \frac{G _{F}^{2} m ^{5}}{192 π ^{3}}$ に、崩壊する粒子の質量 $m$ と $G_{F}$ を入れる（終状態の粒子の質量は無視する）
崩壊幅の比を求めるときは、共通の因子を約分して $\frac{Γ ^{'}}{Γ} = (\frac{G _{F}^{'}}{G _{F}})^{2} (\frac{m ^{'}}{m})^{5}$ とする
寿命が必要なら $τ = ℏ/Γ$ で時間に直す

例題

自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用い、ミューオンの崩壊幅は $Γ_{μ} = \frac{G _{F}^{2} m _{μ}^{5}}{192 π ^{3}}$ （終状態の粒子の質量と放射補正は無視）で与えられるとする。 $S U (2)$ のゲージ結合 $g$ はそのままで $W$ の質量だけが $2 M_{W}$ になり、同時に、ミューオンと同じ相互作用をもち質量が $3 m_{μ}$ の仮想的なレプトン $L$ が $L \to e ν ˉ_{e} ν_{L}$ と崩壊するとする（運動量移行は $W$ の質量よりずっと小さいとしてよい）。この $L$ の崩壊幅 $Γ_{L}$ と、もとの世界のミューオンの崩壊幅 $Γ_{μ}$ の比 $Γ_{L} / Γ_{μ}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 運動量移行は $W$ の質量よりずっと小さいので、4 点相互作用で扱える。 $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}}$ 。

手順 2: $g$ を変えずに $M_{W} \to 2 M_{W}$ とすると、 $G_{F}^{'} = \frac{2 g ^{2}}{8 ( 2 M _{W} ) ^{2}} = \frac{G _{F}}{4}$ 。

手順 3: $L$ の崩壊幅は $Γ_{L} = \frac{G _{F}^{'2} ( 3 m _{μ} ) ^{5}}{192 π ^{3}}$ 。

手順 4: 比をとると $192 π^{3}$ が約分されて
$\frac{Γ _{L}}{Γ _{μ}} = (\frac{G _{F}^{'}}{G _{F}})^{2} (\frac{3 m _{μ}}{m _{μ}})^{5} = \frac{1}{16} \times 243 = \frac{243}{16} .$
$W$ が重くなって相互作用は弱くなったが、質量の 5 乗の効果のほうが大きく、崩壊幅は約 $15$ 倍になる。

答え: $\frac{243}{16}$

よくある誤り

$G_{F} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}}$ と $2$ を落としてしまう誤り。正しくは $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}}$ 、つまり $G_{F} = \frac{2 g ^{2}}{8 M _{W}^{2}} = \frac{1}{2 v ^{2}}$ 。比を求めるときは影響しないが、 $v$ や $G_{F}$ の値を出すときに $2$ 倍ずれる
崩壊幅が $G_{F}$ に比例する、あるいは質量の 1 乗や 3 乗に比例するとしてしまう誤り。幅は振幅の 2 乗なので $G_{F}^{2}$ に比例し、次元を合わせるために $m^{5}$ が付く: $Γ = \frac{G _{F}^{2} m _{μ}^{5}}{192 π ^{3}}$ 。質量が 2 倍なら幅は $2^{5} = 32$ 倍
$M_{W}$ を変えたとき $g$ を固定するか $v$ を固定するかを区別しない誤り。 $\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}} = \frac{1}{2 v ^{2}}$ なので、 $g$ を固定して $M_{W}$ を 2 倍にすれば $G_{F}$ は $\frac{1}{4}$ 倍だが、 $v$ を固定して $g$ を 2 倍にしたことで $M_{W}$ が 2 倍になったのなら $G_{F}$ は変わらない
寿命を $τ = Γ$ や、自然単位のまま $τ = 1/Γ$ を秒として扱ってしまう誤り。正しくは $τ = ℏ/Γ$ で、例えば $Γ$ を GeV で求めたら $ℏ = 6.58 \times 1 0^{- 25} GeV s$ で割って秒に直す（ミューオンでは $Γ \approx 3.0 \times 1 0^{- 19} GeV$ 、 $τ \approx 2.2 \times 1 0^{- 6} s$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。電弱理論で、ミューオンの崩壊 $μ^{-} \to e^{-} ν ˉ_{e} ν_{μ}$ は $W$ ボソンの交換で起こり、運動量移行が $M_{W}$ に比べて十分小さいとき、フェルミ結合定数
$\frac{G _{F}}{2} = \frac{g ^{2}}{8 M _{W}^{2}}$
の 4 点相互作用で近似できる。このとき、崩壊幅は木のレベルで、終状態の粒子の質量を無視すると
$Γ = \frac{G _{F}^{2} m _{μ}^{5}}{192 π ^{3}}$
で与えられる。
いま、 $S U (2)_{L}$ のゲージ結合定数 $g$ は変えずに、 $W$ ボソンの質量だけが $M_{W}$ の $2$ 倍であり、さらにミューオンと同じ相互作用をする（質量のほかは同じ性質の）荷電レプトンの質量が $m_{μ}$ の $3$ 倍であるような仮想的な世界を考える。この仮想的なレプトンの崩壊 $\to e^{-} ν ˉ_{e} ν$ の崩壊幅 $Γ^{'}$ と、現実のミューオンの崩壊幅 $Γ$ の比 $\frac{Γ ^{'}}{Γ}$ を求めよ。ただし、どちらの崩壊でも上の 4 点相互作用の近似と崩壊幅の式が成り立ち、終状態の粒子の質量は無視できるものとする。