質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー

$E = m c^{2}$ 、質量欠損、結合エネルギーの関係について正しい記述を選べる。原子核の質量は核子の質量の和より小さく、質量欠損が大きいほど結合エネルギーが大きいこと、核子 1 個あたりの結合エネルギーが鉄の付近で最大になることを判断できる

前提

原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））

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算数中学高校大学大学院

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原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））

説明

原子核の質量は、それをつくる陽子と中性子（核子）の質量を足したものより、わずかに小さくなります。この技能を身につけると、その「足りない質量（質量欠損）」と、核子を結びつけているエネルギー（結合エネルギー）とを、 $E = m c^{2}$ で結びつけて考えられるようになります。さらに、どの原子核が安定かを核子 1 個あたりの結合エネルギーで比べ、その値が鉄の付近で最大になることを判断できるようになります。原子核の性質や核反応についての記述の正誤を見分けるときに使います。

なぜそうしてよいのか

アインシュタインは、質量とエネルギーは同じものの別の表れであり、質量 $m$ はエネルギー $E = m c^{2}$ （ $c$ は真空中の光の速さ、約 $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ ）に相当すると考えました。逆に、物体にエネルギー $E$ を与えると、その質量は $E / c^{2}$ だけ増えます。 $c^{2}$ はとても大きいので、ごくわずかな質量でも莫大なエネルギーに相当します。

原子核の中では、核子どうしが近距離ではたらく強い引力（核力）で結びついています。この原子核をばらばらの核子に引き離すには、核力に逆らって外から正の仕事をしなければなりません。つまり、ばらばらの核子の集まりは、原子核のときより外から加えた仕事の分だけエネルギーが大きく、そのぶん $E = m c^{2}$ により質量も大きくなります。言いかえると、原子核の質量 $M$ は核子の質量の和より小さく、その差 $Δ m$ が質量欠損です。原子核をばらばらにするのに必要なエネルギー（逆に核子が集まって原子核ができるときに放出されるエネルギー）が結合エネルギーで、 $Δ E = Δ m c^{2}$ です。質量欠損が大きいほど、結合エネルギーも大きくなります。

結合エネルギーの合計は、核子の数が多い原子核ほど大きくなりがちです。そこで、原子核どうしの安定さを比べるときは、結合エネルギーを質量数 $A$ で割った「核子 1 個あたりの結合エネルギー」を使います。この値が大きいほど、核子 1 個を引き離すのに平均して多くのエネルギーが要り、安定な原子核です。この値は質量数の小さい原子核では質量数とともにおおむね増え、質量数 56 付近の鉄のあたりで最大（約 $8.8 MeV$ ）となり、それより重い原子核ではゆるやかに減っていきます（ウランでは約 $7.6 MeV$ ）。ここで $1 MeV = 1 0^{6} eV$ 、 $1 eV \approx 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ です。

手順

原子核の原子番号 $Z$ （陽子の数）と質量数 $A$ から、中性子の数 $N = A - Z$ を確かめる。
核子の質量の和 $Z m_{p} + (A - Z) m_{n}$ と原子核の質量 $M$ を比べ、原子核の方が小さいこと（ $M < Z m_{p} + (A - Z) m_{n}$ ）を確認する。差が質量欠損 $Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - M (> 0)$ 。
結合エネルギーを $Δ E = Δ m c^{2}$ で表す。これは原子核をばらばらの核子にするのに必要なエネルギー（核子から原子核ができるとき放出されるエネルギー）であり、 $Δ m$ が大きいほど $Δ E$ も大きいと判断する。
安定さを比べるときは、結合エネルギーの合計ではなく核子 1 個あたりの結合エネルギー $\frac{Δ E}{A}$ で比べる。この値は鉄（質量数 56 付近）の付近で最大で、それより軽くても重くても小さくなる。
選択肢の記述を、上の事実（質量の大小関係、 $Δ E = Δ m c^{2}$ 、結合エネルギーの意味、鉄の付近で最大）と一つずつ照らし合わせて正誤を決める。

例題

原子核の質量と結合エネルギーについての記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、真空中の光の速さを $c$ とする。
ア　原子核の質量は、それを構成する陽子と中性子をばらばらにしたときの質量の和より大きい。
イ　原子核をばらばらの陽子と中性子に分けるのに必要なエネルギーを結合エネルギーといい、質量欠損を $Δ m$ とすると $Δ m c^{2}$ で表される。
ウ　核子 1 個あたりの結合エネルギーは、質量数が大きい原子核ほど大きく、天然に存在する原子核ではウランで最大になる。
エ　質量欠損が生じるのは、陽子と中性子が集まって原子核になるときに、核子の個数が減るからである。

例題の解答

手順 5 に従い、手順 2〜4 の事実と一つずつ照らし合わせます。
ア：手順 2 より、原子核の質量 $M$ は核子の質量の和より小さく、 $M < Z m_{p} + (A - Z) m_{n}$ です。「大きい」としているので誤りです。
イ：手順 3 より、結合エネルギーは原子核をばらばらの核子にするのに必要なエネルギーで、 $Δ E = Δ m c^{2}$ です。記述どおりなので正しいです。
ウ：手順 4 より、核子 1 個あたりの結合エネルギーは鉄（質量数 56 付近）の付近で最大で、ウランのような重い原子核ではかえって小さく（約 $7.6 MeV$ 、鉄付近は約 $8.8 MeV$ ）なります。誤りです。
エ：手順 1・2 では、陽子 $Z$ 個と中性子 $A - Z$ 個がそのまま原子核に含まれており、核子の個数は変わりません。質量が減るのは、核子が結びつくときにエネルギー（結合エネルギー）を放出し、そのぶん $E = m c^{2}$ によって質量が減るからです。誤りです。
よって正しいものはイです。

答え:

イ

よくある誤り

原子核の質量が核子の質量の和より大きい（または等しい）としてしまう誤り。正しくは、核子が結びつくときにエネルギーを放出するので $M < Z m_{p} + (A - Z) m_{n}$ であり、質量欠損 $Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - M$ は正の値になる。
結合エネルギーの合計が大きい原子核ほど安定だとしてしまう誤り。例えばウラン 238 の結合エネルギーの合計（約 $1.8 \times 1 0^{3} MeV$ ）は鉄 56（約 $4.9 \times 1 0^{2} MeV$ ）より大きいが、安定さは核子 1 個あたりの値 $\frac{Δ E}{A}$ で比べる。正しくは、この値が最大になる鉄の付近の原子核が最も安定である。
質量欠損を「核子の数が減った分の質量」と考えてしまう誤り。正しくは、核子の数（陽子 $Z$ 個、中性子 $A - Z$ 個）は変わらず、放出されたエネルギー $Δ E$ に相当する質量 $Δ m = \frac{Δ E}{c ^{2}}$ が減っている。
質量欠損を計算するとき、中性子の数を質量数 $A$ のまま使って $Z m_{p} + A m_{n} - M$ としてしまう誤り。正しくは、中性子の数は $A - Z$ なので $Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - M$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の文中の空欄 a・b に入る語句・式の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、真空中の光の速さを $c$ とする。
「原子核の質量は、その原子核を構成する陽子と中性子をばらばらにしたときの質量の和より　a　。この質量の差を $Δ m$ とし、質量欠損という。静止している原子核をばらばらの陽子と中性子に分けるには、外から　b　のエネルギーを加える必要がある。このエネルギーを原子核の結合エネルギーという。」
a b
ア大きい $Δ m c$
イ大きい $Δ m c^{2}$
ウ小さい $Δ m c$
エ小さい $Δ m c^{2}$

	a	b
ア	大きい	$Δ m c$
イ	大きい	$Δ m c^{2}$
ウ	小さい	$Δ m c$
エ	小さい	$Δ m c^{2}$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

核分裂と核融合（高校物理原子（知識））
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）