ゲージ理論と素粒子の標準模型

$\mathrm{SU}(3)$ の既約表現をディンキン標識 $(p,q)$（$p,q$ は 0 以上の整数）で表す。この表現の次元と 2 次カシミール演算子の値はそれぞれ
$$\dim (p,q)=\frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2),C_2(p,q)=\frac{1}{3}\left(p^2+q^2+pq+3p+3q\right)$$
で与えられる。ここで生成子は、基本表現 $(1,0)$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化されている（このとき $C_2(1,0)=\frac{4}{3}$）。

表現 $R$ のディンキン指数 $T(R)$ を ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定義する。対称テンソル表現 $R=(2,0)$ のディンキン指数 $T(R)$ を求めよ。

計量の符号を $(+,-,-,-)$、自然単位系 $\hslash =c=1$ とする。$U(1)$ ゲージ場 $A_{\mu }$ と、電荷 $2e$（$e>0$ は結合定数）をもつ複素スカラー場 $\varphi$ からなる理論
$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+(D_{\mu }\varphi {)}^{\ast }(D^{\mu }\varphi )-V(\varphi ),D_{\mu }={\partial }_{\mu }-2ie{A}_{\mu }$$
を考える。ポテンシャル $V(\varphi )$ によって $U(1)$ 対称性が自発的に破れ、スカラー場が一定の真空期待値 $⟨\varphi ⟩=\frac{v}{\sqrt{2}}$（$v>0$ は実数の定数）をとるとする。

このとき運動項 $(D_{\mu }\varphi {)}^{\ast }(D^{\mu }\varphi )$ に $\varphi =⟨\varphi ⟩$ を代入して得られる $A_{\mu }$ の 2 次の項を、ゲージボソンの質量項 $\frac{1}{2}{M}_A^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$ と見なす。ゲージボソンの質量 $M_A$（$M_A>0$）を $e$, $v$ を用いて表せ。

標準模型を拡張して、クォークが $N=4$ 世代（アップ型 4 種類・ダウン型 4 種類）ある模型を考える。クォークの質量はすべて異なり、0 でないとする。荷電カレントの弱い相互作用に現れるクォーク混合行列（CKM 行列）$V$ は $4\times 4$ のユニタリー行列であり、各クォーク場の位相の付け替え $q\to e^{i{\alpha }_q}q$ で $V$ の一部の位相を取り除くことができる。

この模型の CKM 行列に含まれる、取り除くことのできない物理的な複素位相（CP を破る位相）の個数を求めよ。

フレーバー $\mathrm{SU}(3)$（$u,d,s$ クォーク）のクォーク模型で、スピン $\frac{3}{2}$ のバリオン十重項を考える。この十重項は、アイソスピン $I$ とハイパーチャージ $Y=B+S$（$B$ はバリオン数、$S$ はストレンジネス）について、次の 4 つのアイソスピン多重項に分かれる。
$$(I,Y)=\left(\frac{3}{2},1\right),(1,0),\left(\frac{1}{2},-1\right),(0,-2)$$
各アイソスピン多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる。ゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ を用いて、十重項の 10 個の状態すべてにわたる電荷の 2 乗の和 $\sum Q^2$ を求めよ（電荷は電気素量を単位とする）。

ゲージ群 $\mathrm{SU}(2)$ のゲージ理論に、基本表現（2 次元表現）に属する質量ゼロのディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は 0 以上の整数）結合しており、スカラー場はないとする。結合定数 $g$ の 1 ループのベータ関数を
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
と書く。ここで随伴表現の 2 次カシミールは $C_2(G)=2$、基本表現のディンキン指数は $T(2)=\frac{1}{2}$ である。

この理論が漸近的自由（$b_0>0$）となるような $N_f$ の最大値を求めよ。

ゲージ群 $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ の電弱理論を考える。ゲージ結合定数を $g$, $g^{\prime }$ とし、共変微分を $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ig{T}^a{W}_{\mu }^a-i{g}^{\prime }Y{B}_{\mu }$、電荷を $Q=T_3+Y$、ワインバーグ角を $\cos {\theta }_W=\frac{g}{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}}$ と定める。計量は $(+,-,-,-)$ とする。

スカラー場として次の 2 つの多重項だけがあるとする。

• 複素二重項 $\Phi$（$T=\frac{1}{2}$, $Y=\frac{1}{2}$）。運動項は $(D_{\mu }\Phi {)}^{†}(D^{\mu }\Phi )$ で、中性成分の真空期待値は $⟨{\varphi }^0⟩=\frac{v}{\sqrt{2}}$
• 実三重項 $\xi$（$T=1$, $Y=0$）。運動項は $\frac{1}{2}(D_{\mu }\xi {)}^a(D^{\mu }\xi {)}^a$ で、中性成分（$T_3=0$ の成分）の真空期待値は $⟨{\xi }^0⟩=u$

ここで $v>0$, $u>0$ は実数の定数である。木のレベルで、パラメータ
$$\rho =\frac{M_W^2}{M_Z^2{\cos }^2{\theta }_W}$$
を $v$ と $u$ で表せ。

ゲージ群 $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ のゲージ理論で、フェルミオンをすべて左巻きワイル・フェルミオンで書く。電荷は $Q=T_3+Y$ とする。1 世代のフェルミオンが次の 5 つの多重項からなるとする（表記は $(SU(3{)}_C\text{ の表現},SU(2{)}_L\text{ の表現},Y)$）。
$$Q:\left(3,2,\frac{1}{6}\right),u^c:\left(\bar{3},1,-\frac{2}{3}\right),d^c:\left(\bar{3},1,y\right),L:\left(1,2,-\frac{1}{2}\right),e^c:\left(1,1,1\right)$$
$SU(3{)}_C^{2}U(1{)}_Y$ 型のゲージアノマリーが消えるように、$d^c$ の超電荷 $y$ を求めよ。ただし、$SU(3)$ の基本表現 $3$ と反基本表現 $\bar{3}$ のディンキン指数はともに $T(3)=T(\bar{3})=\frac{1}{2}$ とする。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。電弱理論で、ミューオンの崩壊 ${\mu }^{-}\to e^{-}{\bar{\nu }}_e{\nu }_{\mu }$ は $W$ ボソンの交換で起こり、運動量移行が $M_W$ に比べて十分小さいとき、フェルミ結合定数
$$\frac{G_F}{\sqrt{2}}=\frac{g^2}{8M_W^2}$$
の 4 点相互作用で近似できる。このとき、崩壊幅は木のレベルで、終状態の粒子の質量を無視すると
$$\Gamma =\frac{G_F^2{m}_{\mu }^5}{192{\pi }^3}$$
で与えられる。

いま、$SU(2{)}_L$ のゲージ結合定数 $g$ は変えずに、$W$ ボソンの質量だけが $M_W$ の $2$ 倍であり、さらにミューオンと同じ相互作用をする（質量のほかは同じ性質の）荷電レプトンの質量が $m_{\mu }$ の $3$ 倍であるような仮想的な世界を考える。この仮想的なレプトンの崩壊 $\to e^{-}{\bar{\nu }}_e\nu$ の崩壊幅 ${\Gamma }^{\prime }$ と、現実のミューオンの崩壊幅 $\Gamma$ の比 $\frac{{\Gamma }^{\prime }}{\Gamma }$ を求めよ。ただし、どちらの崩壊でも上の 4 点相互作用の近似と崩壊幅の式が成り立ち、終状態の粒子の質量は無視できるものとする。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノが真空中を伝わるとし、フレーバー固有状態 ${\nu }_{\alpha }$（$\alpha =e,\mu ,\tau$）と質量固有状態 ${\nu }_i$（質量 $m_i$, $i=1,2,3$）が混合行列 $U$ により $|{\nu }_{\alpha }⟩={\sum }_i{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩$ で結ばれているとする。エネルギー $E$ のニュートリノは $E\gg m_i$ を満たし、距離 $L$ 伝わったときの振動確率は
$$P({\nu }_{\alpha }\to {\nu }_{\beta })={\left|\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }{U}_{\beta i}{e}^{-i{m}_i^{2}L/2E}\right|}^2$$
で与えられるものとする。

混合行列の電子フレーバーの行の成分の絶対値の 2 乗が
$$|U_{e1}{|}^2=\frac{1}{2},|U_{e2}{|}^2=\frac{1}{4},|U_{e3}{|}^2=\frac{1}{4}$$
であり、$\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ として、ある距離 $L$ とエネルギー $E$ で
$$\frac{\Delta m_{21}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{6},\frac{\Delta m_{31}^{2}L}{4E}=\frac{\pi }{2}$$
が成り立つとする。このときの電子ニュートリノの生存確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を既約分数で求めよ。

4 次元時空のゲージ群 $SU(3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5$$
と書く。この理論では
$$b_0=11-\frac{2}{3}{N}_f,b_1=102-\frac{38}{3}{N}_f$$
である。$N_f=16$ のとき、$\beta (g)=0$ を満たす $g\ne 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{\ast }^2$ の値を求めよ。

$u,d,s$ クォークのフレーバー $\mathrm{SU}(3)$ 対称性を考える。スピン $1/2$ のバリオン八重項 2 個からなる 2 バリオン系（バリオン数 $B=2$）のフレーバー状態は $8\otimes 8=27\oplus 10\oplus \overline{10}\oplus 8\oplus 8\oplus 1$ と分解される。このうち $27$ 重項は、ハイパーチャージ $Y$ とアイソスピン $I$ の組 $(Y,I)$ が
$$(2,1),\left(1,\frac{3}{2}\right),\left(1,\frac{1}{2}\right),(0,2),(0,1),(0,0),\left(-1,\frac{3}{2}\right),\left(-1,\frac{1}{2}\right),(-2,1)$$
のアイソスピン多重項をそれぞれ 1 つずつ含む（各多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる）。ここでハイパーチャージは $Y=B+S$（$S$ はストレンジネス）であり、電荷 $Q$（電気素量 $e$ を単位とする）はゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ で与えられる。

$27$ 重項に属する 27 個の状態すべてについての電荷の 2 乗の和 $\sum _{\text{27 states}}{Q}^2$ を求めよ。答えは整数で答えよ。

$N$ 世代（$N\ge 2$ の整数）のフェルミオンを持つ標準模型を考える。ゲージ群は $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$、ヒッグス二重項は 1 つとする。右巻きニュートリノは導入せず、左巻きニュートリノは次元 5 の有効演算子（ワインバーグ演算子）によってマヨラナ質量を得るものとする。クォーク・荷電レプトン・ニュートリノの質量はすべて $0$ でなく、同じ種類の粒子どうしで縮退していないとする。

クォークの混合行列（CKM 行列）とレプトンの混合行列（PMNS 行列）は、それぞれ $N\times N$ のユニタリー行列である。フェルミオン場の位相の付け替え（ラグランジアンの他の項を変えない再定義）では取り除けない複素位相を「物理的な位相」と呼ぶ。CKM 行列と PMNS 行列に含まれる物理的な位相の個数の合計を、$N$ の式で求めよ。ただし、QCD の $\theta$ 項は数えない。

ゲージ群 $SU(N)$ のゲージ理論を考える。物質場は次の 2 種類のディラック・フェルミオンだけとし、スカラー場は含まないものとする。

• 3 階反対称テンソル表現 ${\Lambda }^3$（次元 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$）に属するディラック・フェルミオン 1 個
• 基本表現に属するディラック・フェルミオン $n_f$ 個

表現 $R$ の生成子 $T_R^a$ について $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で指数 $T(R)$ を定め、基本表現では $T(\text{fund})=\frac{1}{2}$ と規格化する。また随伴表現の 2 次カシミール演算子の値を $C_2(G)$ とする。結合定数 $g$ のベータ関数の 1 ループの結果は
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
で与えられる。理論が（1 ループで）漸近的自由であるとは $b_0>0$ が成り立つことと定める。

$N$ は $N\ge 6$ を満たす整数、$n_f$ は $0$ 以上の整数とする。理論が漸近的自由となるような整数の組 $(N,n_f)$ の個数を求めよ。

ゲージ群 $SU(3)$ のヤン・ミルズ理論に、質量のない $n_f$ 個（$n_f$ は正の整数）のディラック・フェルミオンを結合させる。各フェルミオンは $SU(3)$ の既約表現 $R$ に属する。$R$ はディンキン標識（最高ウェイトの成分）が $(p,q)=(2,0)$ の既約表現（2 階対称テンソル表現）とする。

リー代数の生成子は、基本表現 $3$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化する。表現 $R$ の 2 次カシミール演算子を ${\sum }_a{T}_R^a{T}_R^a=C_2(R)1$、ディンキン指数を $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定め、$C_A=C_2(\text{随伴表現})$ とおく。

結合定数 $g$ のベータ関数を
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5+O(g^7)$$
と書くと、係数は
$$b_0=\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}T(R)n_f,b_1=\frac{34}{3}{C}_A^2-\frac{20}{3}{C}_{A}T(R)n_f-4C_2(R)T(R)n_f$$
で与えられる。これらは質量に依存しない繰り込みスキームでの値であり、スキームの選び方によらない。

漸近的自由性をもち（$b_0>0$）、かつ 2 ループの近似で非自明な赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れる（$b_1<0$）ような $n_f$ をすべて求めよ。

$u,d,s,c$ の 4 種類のクォークからなるフレーバー $SU(4)$ のクォーク模型を考える。各クォークの量子数は次のとおりとする。

• $u,d$：アイソスピン $I=\frac{1}{2}$、その第 3 成分は $I_3(u)=+\frac{1}{2},I_3(d)=-\frac{1}{2}$。ストレンジネス・チャームはともに $0$
• $s$：$I=0$、ストレンジネス $S=-1$、チャーム $C=0$
• $c$：$I=0$、$S=0$、チャーム $C=+1$
• すべてのクォークのバリオン数は $B=\frac{1}{3}$

ハイパーチャージを $Y=B+S+C$ と定義し、電荷（電気素量 $e$ を単位とする）は一般化されたゲルマン・西島の公式
$$Q=I_3+\frac{Y}{2}$$
で与えられるとする。

軌道角運動量 $0$ でスピン $J=\frac{3}{2}$ の基底状態バリオン（クォーク 3 個からなり、フレーバーについて完全対称な状態）は、フレーバー $SU(4)$ の 20 次元表現をなす。この 20 個のフレーバー状態すべてについての和
$$\sum _{\text{20 状態}}QY$$
を求めよ。答えは整数で答えよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノを考え、フレーバー固有状態と質量固有状態の関係を
$$|{\nu }_{\alpha }⟩=\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩(\alpha =e,\mu ,\tau )$$
とする。混合行列 $U$ の第 1 行は標準的なパラメータ表示で
$$U_{e1}=c_{12}{c}_{13},U_{e2}=s_{12}{c}_{13},U_{e3}=s_{13}{e}^{-i\delta }$$
（$s_{ij}=\sin {\theta }_{ij},c_{ij}=\cos {\theta }_{ij}$）と書ける。いま仮想的なパラメータとして
$${\sin }^2{\theta }_{13}=\frac{1}{6},{\sin }^2{\theta }_{12}=\frac{2}{5}$$
をとる。質量の 2 乗差を $\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ と書き、ある正の定数 $\Delta$ を用いて $\Delta m_{21}^2=\Delta ,\Delta m_{31}^2=3\Delta$ であるとする。

エネルギー $E$ の電子ニュートリノ ${\nu }_e$ が真空中を距離 $L=\frac{2\pi E}{3\Delta }$ だけ伝播したのち、再び ${\nu }_e$ として検出される確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を求めよ。ただし、ニュートリノは超相対論的 ($m_i\ll E$) で、平面波近似（各質量固有状態は共通の運動量 $p\simeq E$ をもち、$t\simeq L$）を用いてよい。物質効果は無視する。答えは既約分数で答えよ。

ゲージ群 $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ の電弱理論を考える。計量は $(+,-,-,-)$、自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。ゲージ結合定数を $g,g^{\prime }$ とし、共変微分を
$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ig{T}^a{W}_{\mu }^a-i{g}^{\prime }Y{B}_{\mu }$$
とする。電荷は $Q=T^3+Y$ である。荷電ゲージボソンを $W_{\mu }^{\pm }=(W_{\mu }^1\mp i{W}_{\mu }^2)/\sqrt{2}$、中性ゲージボソンを $Z_{\mu }=\cos {\theta }_W{W}_{\mu }^3-\sin {\theta }_W{B}_{\mu }$ と定める。ここで $\cos {\theta }_W=g/\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}$ である。質量項はそれぞれ $M_W^2{W}_{\mu }^{+}{W}^{-\mu }$、$\frac{1}{2}{M}_Z^2{Z}_{\mu }{Z}^{\mu }$ の形で定義する。

スカラー場として、次の 3 つを導入する。

• $SU(2)$ 2 重項 $\Phi$。超電荷は $Y=\frac{1}{2}$、運動項は $(D_{\mu }\Phi {)}^{†}(D^{\mu }\Phi )$、真空期待値は $⟨\Phi ⟩=(0,v/\sqrt{2}{)}^T$ とする。
• 複素 3 重項 $\Delta$。超電荷は $Y=1$ で、$T^3=\mathrm{diag}(1,0,-1)$ とするスピン 1 表現の基底で成分を $({\Delta }^{++},{\Delta }^{+},{\Delta }^0{)}^T$ と書く。運動項は $(D_{\mu }\Delta {)}^{†}(D^{\mu }\Delta )$、真空期待値は $⟨\Delta ⟩=(0,0,u/\sqrt{2}{)}^T$ とする。
• 実 3 重項 $\xi =({\xi }^1,{\xi }^2,{\xi }^3{)}^T$。超電荷は $Y=0$、生成子は随伴表現 $(T^a{)}_{bc}=-i{ϵ}_{abc}$、運動項は $\frac{1}{2}(D_{\mu }\xi {)}^T(D^{\mu }\xi )$、真空期待値は $⟨\xi ⟩=(0,0,w{)}^T$ とする。

ここで $v,u,w$ は正の実数である。木のレベルでのパラメータ
$$\rho \equiv \frac{M_W^2}{M_Z^2{\cos }^2{\theta }_W}$$
を $v,u,w$ で表せ。