ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

$u,d,s$ クォークのフレーバー $\mathrm{SU}(3)$ 対称性を考える。スピン $1/2$ のバリオン八重項 2 個からなる 2 バリオン系（バリオン数 $B=2$）のフレーバー状態は $8\otimes 8=27\oplus 10\oplus \overline{10}\oplus 8\oplus 8\oplus 1$ と分解される。このうち $27$ 重項は、ハイパーチャージ $Y$ とアイソスピン $I$ の組 $(Y,I)$ が
$$(2,1),\left(1,\frac{3}{2}\right),\left(1,\frac{1}{2}\right),(0,2),(0,1),(0,0),\left(-1,\frac{3}{2}\right),\left(-1,\frac{1}{2}\right),(-2,1)$$
のアイソスピン多重項をそれぞれ 1 つずつ含む（各多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる）。ここでハイパーチャージは $Y=B+S$（$S$ はストレンジネス）であり、電荷 $Q$（電気素量 $e$ を単位とする）はゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ で与えられる。

$27$ 重項に属する 27 個の状態すべてについての電荷の 2 乗の和 $\sum _{\text{27 states}}{Q}^2$ を求めよ。答えは整数で答えよ。

フレーバー $\mathrm{SU}(3)$（$u,d,s$ クォーク）のクォーク模型で、スピン $\frac{3}{2}$ のバリオン十重項を考える。この十重項は、アイソスピン $I$ とハイパーチャージ $Y=B+S$（$B$ はバリオン数、$S$ はストレンジネス）について、次の 4 つのアイソスピン多重項に分かれる。
$$(I,Y)=\left(\frac{3}{2},1\right),(1,0),\left(\frac{1}{2},-1\right),(0,-2)$$
各アイソスピン多重項は $I_3=-I,-I+1,\dots ,I$ の $2I+1$ 個の状態からなる。ゲルマン・西島の公式 $Q=I_3+\frac{Y}{2}$ を用いて、十重項の 10 個の状態すべてにわたる電荷の 2 乗の和 $\sum Q^2$ を求めよ（電荷は電気素量を単位とする）。

ゲージ群 $SU(N)$ のゲージ理論を考える。物質場は次の 2 種類のディラック・フェルミオンだけとし、スカラー場は含まないものとする。

• 3 階反対称テンソル表現 ${\Lambda }^3$（次元 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$）に属するディラック・フェルミオン 1 個
• 基本表現に属するディラック・フェルミオン $n_f$ 個

表現 $R$ の生成子 $T_R^a$ について $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で指数 $T(R)$ を定め、基本表現では $T(\text{fund})=\frac{1}{2}$ と規格化する。また随伴表現の 2 次カシミール演算子の値を $C_2(G)$ とする。結合定数 $g$ のベータ関数の 1 ループの結果は
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
で与えられる。理論が（1 ループで）漸近的自由であるとは $b_0>0$ が成り立つことと定める。

$N$ は $N\ge 6$ を満たす整数、$n_f$ は $0$ 以上の整数とする。理論が漸近的自由となるような整数の組 $(N,n_f)$ の個数を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用いる。3 世代のニュートリノを考え、フレーバー固有状態と質量固有状態の関係を
$$|{\nu }_{\alpha }⟩=\sum _{i=1}^3{U}_{\alpha i}^{\ast }|{\nu }_i⟩(\alpha =e,\mu ,\tau )$$
とする。混合行列 $U$ の第 1 行は標準的なパラメータ表示で
$$U_{e1}=c_{12}{c}_{13},U_{e2}=s_{12}{c}_{13},U_{e3}=s_{13}{e}^{-i\delta }$$
（$s_{ij}=\sin {\theta }_{ij},c_{ij}=\cos {\theta }_{ij}$）と書ける。いま仮想的なパラメータとして
$${\sin }^2{\theta }_{13}=\frac{1}{6},{\sin }^2{\theta }_{12}=\frac{2}{5}$$
をとる。質量の 2 乗差を $\Delta m_{ij}^2=m_i^2-m_j^2$ と書き、ある正の定数 $\Delta$ を用いて $\Delta m_{21}^2=\Delta ,\Delta m_{31}^2=3\Delta$ であるとする。

エネルギー $E$ の電子ニュートリノ ${\nu }_e$ が真空中を距離 $L=\frac{2\pi E}{3\Delta }$ だけ伝播したのち、再び ${\nu }_e$ として検出される確率 $P({\nu }_e\to {\nu }_e)$ を求めよ。ただし、ニュートリノは超相対論的 ($m_i\ll E$) で、平面波近似（各質量固有状態は共通の運動量 $p\simeq E$ をもち、$t\simeq L$）を用いてよい。物質効果は無視する。答えは既約分数で答えよ。

$N$ 世代（$N\ge 2$ の整数）のフェルミオンを持つ標準模型を考える。ゲージ群は $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$、ヒッグス二重項は 1 つとする。右巻きニュートリノは導入せず、左巻きニュートリノは次元 5 の有効演算子（ワインバーグ演算子）によってマヨラナ質量を得るものとする。クォーク・荷電レプトン・ニュートリノの質量はすべて $0$ でなく、同じ種類の粒子どうしで縮退していないとする。

クォークの混合行列（CKM 行列）とレプトンの混合行列（PMNS 行列）は、それぞれ $N\times N$ のユニタリー行列である。フェルミオン場の位相の付け替え（ラグランジアンの他の項を変えない再定義）では取り除けない複素位相を「物理的な位相」と呼ぶ。CKM 行列と PMNS 行列に含まれる物理的な位相の個数の合計を、$N$ の式で求めよ。ただし、QCD の $\theta$ 項は数えない。