クォーク模型の多重項と量子数

フレーバー SU(3)（SU(4)）の多重項をアイソスピン多重項とハイパーチャージ $Y = B + S (+ C)$ に分解し、ゲルマン・西島の公式 $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ で各状態の電荷を求め、多重項全体での $\sum Q^{2}$ や $\sum Q Y$ などの和を計算できる

前提

SU(N) の既約表現の次元・カシミール・ディンキン指数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
テンソル積・対称積・交代積の分解（大学院数学表現論）
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ウェイトの重複度（大学院数学表現論）

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算数中学高校大学大学院

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組合せ（数学A 場合の数と確率）
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ワイル群の位数と軌道（大学院数学リー群・リー環）
ウェイトの重複度（大学院数学表現論）

説明

u, d, s（および c）クォークを基本表現とするフレーバー SU(3)（SU(4)）の多重項（八重項・十重項など）を、アイソスピン多重項とハイパーチャージ $Y$ の値ごとに分け、各状態の電荷をゲルマン・西島の公式 $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ で求められるようになります。さらに、多重項全体にわたる $\sum Q$ 、 $\sum Q^{2}$ 、 $\sum Q Y$ などの和を計算できます。これらの和は、異常（アノマリー）の係数、ベータ関数への寄与、 $e^{+} e^{-}$ 散乱での比などで、多重項に属する粒子の寄与をまとめて数えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

クォークのフレーバー量子数を次のように定めます。バリオン数 $B$ はどのクォークも $\frac{1}{3}$ 、ストレンジネス $S$ は s クォークが $- 1$ （反 s は $+ 1$ ）でほかは 0、チャーム $C$ は c クォークが $+ 1$ でほかは 0 です。ハイパーチャージを $Y = B + S$ （SU(4) では $Y = B + S + C$ ）で定めると、u: $(I_{3}, Y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ 、d: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ 、s: $(0, - \frac{2}{3})$ 、c: $(0, \frac{4}{3})$ となり、どれも $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ が電荷 $\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ を正しく与えます。反クォークはすべての量子数の符号が反転します。 $I_{3}$ 、 $Y$ 、 $Q$ はどれもクォークの量子数を足し合わせた量（加法的な量）で、公式は $I_{3}$ と $Y$ について 1 次なので、クォークで成り立てばその複合粒子（ハドロン）でもそのまま成り立ちます。

多重項の各状態は SU(3) のウェイトに対応し、ウェイトを $(I_{3}, Y)$ 平面上の点として描くと、 $Y$ が同じ点の並びはアイソスピン SU(2)（u と d を入れかえる部分群）の表現をつくります。 $Y$ が一定の水平な列ごとに、 $I_{3}$ の最大値 $I$ と点の数 $2 I + 1$ （重複度が 2 以上の点ではアイソスピン多重項が重なっている）を読めば、多重項をアイソスピン多重項の和に分解できます。例えば八重項は $(I, Y) = (\frac{1}{2}, 1), (1, 0), (0, 0), (\frac{1}{2}, - 1)$ 、十重項は $(\frac{3}{2}, 1), (1, 0), (\frac{1}{2}, - 1), (0, - 2)$ です。

和の計算では、 $I_{3}$ と $Y$ が SU(3) の生成子（カルタン部分）に比例するのでトレースが 0、つまり SU(3) の既約多重項全体では $\sum I_{3} = \sum Y = \sum Q = 0$ となることが使えます（u,d,s だけの SU(3) の場合）。2 次の和は、 $Q$ が基本表現で $diag (\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ 、 $Tr_{F} Q^{2} = \frac{2}{3}$ であることと $Tr_{R} (T^{a} T^{b}) = T (R) δ^{ab}$ から、 $\sum_{R} Q^{2} = \frac{Tr _{F} Q ^{2}}{T ( F )} T (R) = \frac{4}{3} T (R)$ で検算できます。

手順

多重項の状態を $(I_{3}, Y)$ 平面のウェイトとして並べる（クォークの組み合わせから、または SU(3) のウェイト図から）。 $Y = B + S (+ C)$ 、 $S$ は s クォーク 1 個につき $- 1$
$Y$ が同じ状態ごとにまとめ、アイソスピン $I$ （その列の $I_{3}$ の最大値）と状態数 $2 I + 1$ を読んで、アイソスピン多重項に分解する
各状態の電荷を $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ で求める
求めたい和（ $\sum Q^{2}$ 、 $\sum Q Y$ など）を、アイソスピン多重項ごとに計算して足す
検算する。SU(3) 多重項では $\sum Q = \sum Y = 0$ 、また $\sum Q^{2} = \frac{4}{3} T (R)$

例題

フレーバー SU(3)（u, d, s）のバリオン十重項（3 つのクォークの完全対称な組み合わせ、 $10$ ）について、すべての状態の電荷 $Q$ （電気素量を単位とする）の 2 乗の和 $\sum Q^{2}$ を求めよ。ただし、ハイパーチャージは $Y = B + S$ 、ゲルマン・西島の公式 $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ を用い、s クォークのストレンジネスを $- 1$ とする。

例題の解答

【手順 1】3 クォークの対称な組み合わせを s クォークの数で分ける。s が 0 個（uuu, uud, udd, ddd）: $B = 1$ , $S = 0$ で $Y = 1$ 。s が 1 個（uus, uds, dds）: $Y = 0$ 。s が 2 個（uss, dss）: $Y = - 1$ 。s が 3 個（sss）: $Y = 1 - 3 = - 2$ 。

【手順 2】各列の状態数と $I_{3}$ の最大値から、 $Y = 1$ は $I = \frac{3}{2}$ （4 状態）、 $Y = 0$ は $I = 1$ （3 状態）、 $Y = - 1$ は $I = \frac{1}{2}$ （2 状態）、 $Y = - 2$ は $I = 0$ （1 状態）。合計 10 状態。

【手順 3】 $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ より、 $Y = 1$ : $Q = 2, 1, 0, - 1$ 。 $Y = 0$ : $Q = 1, 0, - 1$ 。 $Y = - 1$ : $Q = 0, - 1$ 。 $Y = - 2$ : $Q = - 1$ 。

【手順 4】
$\sum Q^{2} = (4 + 1 + 0 + 1) + (1 + 0 + 1) + (0 + 1) + 1 = 6 + 2 + 1 + 1 = 10$

【手順 5】検算: $\sum Q = (2 + 1 + 0 - 1) + (1 + 0 - 1) + (0 - 1) + (- 1) = 0$ 。また完全対称 3 階テンソル表現は SU(3) のディンキン標識 $(3, 0)$ で、 $dim = 10$ 、 $C_{2} = \frac{1}{3} (9 + 9) = 6$ 、 $T = \frac{6 \cdot 10}{8} = \frac{15}{2}$ 。 $\frac{4}{3} T = \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{2} = 10$ で一致する。

答え: $10$

よくある誤り

ストレンジネスの符号を逆にしてしまう誤り。s クォークに $S = + 1$ を与えると、 $Ω$ （sss）で $Y = 1 + 3 = 4$ 、 $Q = 2$ となってしまう。正しくは s クォークは $S = - 1$ で、 $Y = 1 - 3 = - 2$ 、 $Q = 0 + \frac{- 2}{2} = - 1$
ゲルマン・西島の公式で $Y$ を半分にし忘れる誤り。 $Q = I_{3} + Y$ とすると、陽子（ $I_{3} = \frac{1}{2}$ , $Y = 1$ ）が $Q = \frac{3}{2}$ になってしまう。正しくは $Q = I_{3} + \frac{Y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
アイソスピン $I$ と第 3 成分 $I_{3}$ を混同して、各アイソスピン多重項の全状態に同じ電荷を与えてしまう誤り。例えば十重項の $Y = 1$ の 4 状態をすべて $Q = I + \frac{Y}{2} = 2$ とするが、正しくは $I_{3} = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$ に応じて $Q = 2, 1, 0, - 1$
SU(4) でチャームを入れ忘れて $Y = B + S$ のまま使う誤り。c クォークで $Y = \frac{1}{3}$ とすると $Q = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ になってしまう。SU(4) では $Y = B + S + C$ とし、c は $Y = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ 、 $Q = \frac{2}{3}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
フレーバー $SU (3)$ （ $u, d, s$ クォーク）のクォーク模型で、スピン $\frac{3}{2}$ のバリオン十重項を考える。この十重項は、アイソスピン $I$ とハイパーチャージ $Y = B + S$ （ $B$ はバリオン数、 $S$ はストレンジネス）について、次の 4 つのアイソスピン多重項に分かれる。
$(I, Y) = (\frac{3}{2}, 1), (1, 0), (\frac{1}{2}, - 1), (0, - 2)$
各アイソスピン多重項は $I_{3} = - I, - I + 1, \dots, I$ の $2 I + 1$ 個の状態からなる。ゲルマン・西島の公式 $Q = I_{3} + \frac{Y}{2}$ を用いて、十重項の 10 個の状態すべてにわたる電荷の 2 乗の和 $\sum Q^{2}$ を求めよ（電荷は電気素量を単位とする）。

クォーク模型の多重項と量子数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題