SU(N) の既約表現の次元・カシミール・ディンキン指数

ディンキン標識やヤング図から SU(2)・SU(3)・SU(N) の既約表現の次元（例: SU(3) の $(p, q)$ で $\frac{1}{2} (p + 1) (q + 1) (p + q + 2)$ ）と 2 次カシミール $C_{2} (R)$ を求め、 $T (R) dim G = C_{2} (R) dim R$ からディンキン指数 $T (R)$ （基本表現 $\frac{1}{2}$ 、随伴表現 $N$ 、反対称・対称テンソル表現など）を計算できる

前提

ワイルの次元公式（大学院数学表現論）

この技能までの道筋（57 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
リー環の括弧積と随伴表現（大学院数学リー群・リー環）
sl₂ の有限次元表現（大学院数学表現論）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
ルート系と鏡映（大学院数学リー群・リー環）
ルート系と基本ウェイト（大学院数学表現論）
ワイルの次元公式（大学院数学表現論）

説明

SU(N) の既約表現を、ディンキン標識 $(a_{1}, \dots, a_{N - 1})$ （最高ウェイト $λ = \sum_{i} a_{i} ω_{i}$ の基本ウェイトに関する係数）やヤング図で指定したとき、その次元 $dim R$ 、2 次カシミール $C_{2} (R)$ 、ディンキン指数 $T (R)$ の 3 つを計算できるようになります。これらはゲージ理論のいたるところに現れ、例えば 1 ループのベータ関数係数 $- \frac{11}{3} C_{2} (G) + \frac{4}{3} \sum T (R_{f}) + \dots$ 、アノマリーの相殺条件、色因子の計算などで、場がどの表現に属するかからすぐに数値を出すために使います。

なぜそうしてよいのか

規格化を先に決めます。リー代数の生成子 $T^{a}$ （ $a = 1, \dots, dim G$ 、SU(N) では $dim G = N^{2} - 1$ ）を、基本表現で $Tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ となるように選びます。表現 $R$ での生成子を $T_{R}^{a}$ と書き、
$Tr (T_{R}^{a} T_{R}^{b}) = T (R) δ^{ab}, a \sum T_{R}^{a} T_{R}^{a} = C_{2} (R) 1_{d i m R}$
で $T (R)$ と $C_{2} (R)$ を定義します。前者が $δ^{ab}$ に比例するのは、左辺が随伴表現の不変な対称形式で単純リー代数ではそれが定数倍を除いて一つしかないから、後者が単位行列に比例するのは、 $\sum_{a} T^{a} T^{a}$ がすべての生成子と交換し既約表現上ではスカラーになるからです。後者の両辺のトレースをとり、前者で $a = b$ として和をとると、同じ量 $\sum_{a} Tr (T_{R}^{a} T_{R}^{a})$ が 2 通りに表されて
$T (R) dim G = C_{2} (R) dim R$
が得られます。したがって $dim R$ と $C_{2} (R)$ がわかれば $T (R)$ が決まります。

$dim R$ は前提のワイルの次元公式で求めます。SU(3) の $(p, q)$ では正ルートが $α_{1}, α_{2}, α_{1} + α_{2}$ の 3 つで、 $\frac{( p + 1 )}{1} \cdot \frac{( q + 1 )}{1} \cdot \frac{( p + q + 2 )}{2}$ となります。 $C_{2} (R)$ は、既約表現上でスカラーなので最高ウェイトベクトル $v$ 上で計算できます。生成子をカルタン部分と昇降演算子 $E_{\pm α}$ に分けると、 $E_{α} v = 0$ （ $α > 0$ ）なので $E_{α} E_{- α} v = [E_{α}, E_{- α}] v$ がカルタン部分の作用に書き換わり、正ルートについて足すと $(λ, 2 ρ)$ の項が現れます（ $ρ$ は基本ウェイトの和）。上の規格化はルートの長さを $(α, α) = 2$ とする内積に対応し、結果は
$C_{2} (R) = \frac{1}{2} (λ, λ + 2 ρ)$
です。SU(N) の基本ウェイトどうしの内積は $(ω_{i}, ω_{j}) = \frac{min ( i , j ) ( N - max ( i , j ))}{N}$ で、SU(3) では $C_{2} (p, q) = \frac{p ^{2} + q ^{2} + pq + 3 p + 3 q}{3}$ になります。

確認として、SU(2) のスピン $j$ 表現（ $λ = 2 j ω_{1}$ 、 $(ω_{1}, ω_{1}) = \frac{1}{2}$ ）では $C_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 j (2 j + 2) = j (j + 1)$ となり、よく知られた値に一致します。SU(N) でよく使う値は、基本表現 $dim = N$ , $C_{2} = \frac{N ^{2} - 1}{2 N}$ , $T = \frac{1}{2}$ 、随伴表現 $dim = N^{2} - 1$ , $C_{2} = T = N$ 、2 階反対称テンソル $dim = \frac{N ( N - 1 )}{2}$ , $T = \frac{N - 2}{2}$ 、2 階対称テンソル $dim = \frac{N ( N + 1 )}{2}$ , $T = \frac{N + 2}{2}$ です。ヤング図で与えられたときは、第 $i$ 行の箱の数を $r_{i}$ として $a_{i} = r_{i} - r_{i + 1}$ でディンキン標識に直せます。

手順

表現をディンキン標識 $(a_{1}, \dots, a_{N - 1})$ で表す。ヤング図なら $a_{i} = r_{i} - r_{i + 1}$ （ $r_{i}$ は第 $i$ 行の箱の数）
ワイルの次元公式で $dim R$ を求める。SU(3) の $(p, q)$ なら $dim R = \frac{1}{2} (p + 1) (q + 1) (p + q + 2)$
最高ウェイト $λ = \sum a_{i} ω_{i}$ と $ρ = \sum ω_{i}$ から、 $(ω_{i}, ω_{j}) = \frac{m i n ( i , j ) ( N - m a x ( i , j ))}{N}$ を使って $C_{2} (R) = \frac{1}{2} (λ, λ + 2 ρ)$ を計算する。SU(3) なら $C_{2} = \frac{1}{3} (p^{2} + q^{2} + pq + 3 p + 3 q)$
$dim G = N^{2} - 1$ を用いて $T (R) = \frac{C _{2} ( R ) dim R}{dim G}$ を求める
基本表現で $T = \frac{1}{2}$ 、 $C_{2} = \frac{N ^{2} - 1}{2 N}$ になることを確かめ、規格化が合っているかを点検する

例題

SU(3) のディンキン標識 $(2, 0)$ の既約表現 $R$ について、生成子の規格化を基本表現で $Tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ とし、 $Tr (T_{R}^{a} T_{R}^{b}) = T (R) δ^{ab}$ で定めるディンキン指数 $T (R)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】ディンキン標識は $(p, q) = (2, 0)$ 。ヤング図では 1 行に箱 2 個の対称テンソル表現である。

【手順 2】次元は
$dim R = \frac{1}{2} (2 + 1) (0 + 1) (2 + 0 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 = 6$

【手順 3】SU(3) では $(ω_{1}, ω_{1}) = \frac{2}{3}$ , $(ω_{1}, ω_{2}) = \frac{1}{3}$ , $(ω_{2}, ω_{2}) = \frac{2}{3}$ 。 $λ = 2 ω_{1}$ 、 $λ + 2 ρ = 4 ω_{1} + 2 ω_{2}$ なので
$(λ, λ + 2 ρ) = 8 (ω_{1}, ω_{1}) + 4 (ω_{1}, ω_{2}) = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$
よって $C_{2} (R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{10}{3}$ 。（公式 $\frac{1}{3} (4 + 0 + 0 + 6 + 0) = \frac{10}{3}$ とも一致。）

【手順 4】 $dim G = 3^{2} - 1 = 8$ より
$T (R) = \frac{C _{2} ( R ) dim R}{dim G} = \frac{\frac{10}{3} \cdot 6}{8} = \frac{5}{2}$

【手順 5】点検として基本表現 $(1, 0)$ では $dim = 3$ 、 $C_{2} = \frac{1}{3} (1 + 3) = \frac{4}{3}$ 、 $T = \frac{\frac{4}{3} \cdot 3}{8} = \frac{1}{2}$ となり、規格化と合っている。また一般公式 $T = \frac{N + 2}{2} = \frac{5}{2}$ とも一致する。

答え: $\frac{5}{2}$

よくある誤り

$dim G$ を $N^{2}$ としてしまう誤り。SU(N) の生成子はトレースが 0 のエルミート行列で $dim G = N^{2} - 1$ 。例えば SU(3) の $(2, 0)$ で $dim G = 9$ とすると $T = \frac{20}{9}$ になるが、正しくは $dim G = 8$ で $T = \frac{5}{2}$
$T (R)$ と $C_{2} (R)$ の関係を逆にして $T (R) = \frac{C _{2} ( R ) dim G}{dim R}$ としてしまう誤り。正しくは $T (R) dim G = C_{2} (R) dim R$ より $T (R) = \frac{C _{2} ( R ) dim R}{dim G}$ 。基本表現で $T = \frac{1}{2}$ になるかで確かめられる
ルートの長さの規格化を変えたまま $C_{2} = \frac{1}{2} (λ, λ + 2 ρ)$ を使ってしまう誤り。例えば $(α, α) = 1$ の内積を使うと SU(N) の基本表現で $C_{2} = \frac{N ^{2} - 1}{4 N}$ となり半分になる。 $Tr_{F} (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ の規格化では $(α, α) = 2$ の内積を使い、 $C_{2} (F) = \frac{N ^{2} - 1}{2 N}$ になる
ヤング図の行の長さをそのままディンキン標識にしてしまう誤り。例えば SU(3) で行の長さ $(2, 1)$ のヤング図を $(p, q) = (2, 1)$ とするが、正しくは $a_{1} = r_{1} - r_{2} = 1$ , $a_{2} = r_{2} - r_{3} = 1$ で $(1, 1)$ 、すなわち随伴表現（ $dim = 8$ , $T = 3$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$SU (3)$ の既約表現をディンキン標識 $(p, q)$ （ $p, q$ は 0 以上の整数）で表す。この表現の次元と 2 次カシミール演算子の値はそれぞれ
$dim (p, q) = \frac{1}{2} (p + 1) (q + 1) (p + q + 2), C_{2} (p, q) = \frac{1}{3} (p^{2} + q^{2} + pq + 3 p + 3 q)$
で与えられる。ここで生成子は、基本表現 $(1, 0)$ で $tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ となるように規格化されている（このとき $C_{2} (1, 0) = \frac{4}{3}$ ）。
表現 $R$ のディンキン指数 $T (R)$ を $tr_{R} (T^{a} T^{b}) = T (R) δ^{ab}$ で定義する。対称テンソル表現 $R = (2, 0)$ のディンキン指数 $T (R)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

クォーク模型の多重項と量子数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
非可換ゲージ理論の 1 ループベータ関数と漸近的自由性（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
ゲージアノマリーの相殺条件（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）