ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型

ゲージ群 $S U (3)$ のヤン・ミルズ理論に、質量のない $n_{f}$ 個（ $n_{f}$ は正の整数）のディラック・フェルミオンを結合させる。各フェルミオンは $S U (3)$ の既約表現 $R$ に属する。 $R$ はディンキン標識（最高ウェイトの成分）が $(p, q) = (2, 0)$ の既約表現（2 階対称テンソル表現）とする。

リー代数の生成子は、基本表現 $3$ で $tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ となるように規格化する。表現 $R$ の 2 次カシミール演算子を $\sum_{a} T_{R}^{a} T_{R}^{a} = C_{2} (R) 1$ 、ディンキン指数を $tr (T_{R}^{a} T_{R}^{b}) = T (R) δ^{ab}$ で定め、 $C_{A} = C_{2} (随伴表現)$ とおく。

結合定数 $g$ のベータ関数を
$β (g) = μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5} + O (g^{7})$
と書くと、係数は
$b_{0} = \frac{11}{3} C_{A} - \frac{4}{3} T (R) n_{f}, b_{1} = \frac{34}{3} C_{A}^{2} - \frac{20}{3} C_{A} T (R) n_{f} - 4 C_{2} (R) T (R) n_{f}$
で与えられる。これらは質量に依存しない繰り込みスキームでの値であり、スキームの選び方によらない。

漸近的自由性をもち（ $b_{0} > 0$ ）、かつ 2 ループの近似で非自明な赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れる（ $b_{1} < 0$ ）ような $n_{f}$ をすべて求めよ。

この問題で使うもの

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ヒント

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ヒント 1

必要な群論的量は $C_{A}$ , $C_{2} (R)$ , $T (R)$ の 3 つです。まず表現 $(2, 0)$ の次元とカシミールを求め、そこから $T (R)$ を決めましょう。

ヒント 2

$C_{2} (p, q) = \frac{p ^{2} + q ^{2} + pq + 3 p + 3 q}{3}$ と、 $d (R) C_{2} (R) = T (R) d (G)$ を使います。 $C_{2} (6)$ は $3 \otimes 3 = 6 \oplus 3 ˉ$ のトレースからも検算できます。

ヒント 3

$C_{A} = 3$ , $C_{2} (R) = \frac{10}{3}$ , $T (R) = \frac{5}{2}$ となるので、 $b_{0} = 11 - \frac{10}{3} n_{f}$ , $b_{1} = 102 - \frac{250}{3} n_{f}$ です。あとは $b_{0} > 0$ と $b_{1} < 0$ を同時に満たす正の整数 $n_{f}$ を調べます。

答えと解説

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{2, 3}

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解説を読む

1. 表現 $(2, 0)$ の次元

ディンキン標識 $(p, q)$ をもつ $S U (3)$ の既約表現の次元は
$d (p, q) = \frac{( p + 1 ) ( q + 1 ) ( p + q + 2 )}{2}$
なので、 $d (2, 0) = \frac{3 \cdot 1 \cdot 4}{2} = 6$ である。これは $3 \otimes 3 = 6 \oplus 3 ˉ$ の対称部分にあたる。

2. カシミール演算子

規格化 $tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ のもとで
$C_{2} (p, q) = \frac{p ^{2} + q ^{2} + pq + 3 p + 3 q}{3}$
である。これより
$C_{2} (3) = C_{2} (1, 0) = \frac{4}{3}, C_{A} = C_{2} (1, 1) = \frac{1 + 1 + 1 + 3 + 3}{3} = 3, C_{2} (R) = C_{2} (2, 0) = \frac{4 + 6}{3} = \frac{10}{3} .$

（検算）テンソル積 $3 \otimes 3$ 上の生成子は $T_{\otimes}^{a} = T^{a} \otimes 1 + 1 \otimes T^{a}$ である。 $\sum_{a} T_{\otimes}^{a} T_{\otimes}^{a}$ のトレースをとると、交差項は $2 \sum_{a} tr T^{a} tr T^{a} = 0$ となって消える。よって
$9 (\frac{4}{3} + \frac{4}{3}) = 6 C_{2} (6) + 3 C_{2} (3 ˉ) = 6 C_{2} (6) + 4$
が成り立ち、 $C_{2} (6) = \frac{24 - 4}{6} = \frac{10}{3}$ を得る。これは上の結果と一致する。

3. ディンキン指数

$\sum_{a} tr (T_{R}^{a} T_{R}^{a})$ を 2 通りに計算すると、 $d (R) C_{2} (R) = T (R) d (G)$ が成り立つ。 $d (G) = 8$ だから
$T (R) = \frac{6 \cdot \frac{10}{3}}{8} = \frac{5}{2}$
である。確認として、 $T (3) = \frac{3 \cdot \frac{4}{3}}{8} = \frac{1}{2}$ となり、規格化と合う。

4. $b_{0} > 0$ の条件

$b_{0} = \frac{11}{3} \cdot 3 - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} n_{f} = 11 - \frac{10}{3} n_{f} > 0 ⟺ n_{f} < 3.3$
よって $n_{f} \leq 3$ である。

5. $b_{1} < 0$ の条件

$b_{1} = \frac{34}{3} \cdot 9 - \frac{20}{3} \cdot 3 \cdot \frac{5}{2} n_{f} - 4 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{2} n_{f} = 102 - 50 n_{f} - \frac{100}{3} n_{f} = 102 - \frac{250}{3} n_{f} .$
$b_{1} < 0 ⟺ n_{f} > \frac{306}{250} = 1.224$ なので、 $n_{f} \geq 2$ である。

個別に確認する。
- $n_{f} = 1$ ： $b_{1} = \frac{56}{3} > 0$ なので条件を満たさない。
- $n_{f} = 2$ ： $b_{0} = \frac{13}{3}$ , $b_{1} = - \frac{194}{3}$ なので条件を満たす。
- $n_{f} = 3$ ： $b_{0} = 1$ , $b_{1} = - 148$ なので条件を満たす。

$n_{f} = 2, 3$ では、2 ループの固定点 $\frac{g _{*}^{2}}{16 π ^{2}} = - \frac{b _{0}}{b _{1}} > 0$ が存在する。

答え $n_{f} \in {2, 3}$

別解

表現 $R = (2, 0)$ は 3 次元の基本表現の 2 階対称テンソルで、次元は $6$ である。

$S U (N)$ の対称 2 階テンソル表現では $T (R) = \frac{N + 2}{2}$ となる。 $N = 3$ なので $T (R) = \frac{5}{2}$ である。

カシミールとの関係 $C_{2} (R) dim R = T (R) dim G$ より、 $C_{2} (R) = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{6} = \frac{10}{3}$ である。また $C_{A} = 3$ である。

【 $b_{0} > 0$ の条件】
$b_{0} = 11 - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} n_{f} = 11 - \frac{10}{3} n_{f} > 0$ より $n_{f} < 3.3$ なので、 $n_{f} \leq 3$ である。

【 $b_{1} < 0$ の条件】
$b_{1} = \frac{34}{3} \cdot 9 - \frac{20}{3} \cdot 3 \cdot \frac{5}{2} n_{f} - 4 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{2} n_{f} = 102 - 50 n_{f} - \frac{100}{3} n_{f} = 102 - \frac{250}{3} n_{f}$ である。

これが負になるのは $n_{f} > \frac{306}{250} = 1.224$ のときで、 $n_{f} \geq 2$ である。

【検算】
- $n_{f} = 1$ では $b_{1} = 102 - 83.3 > 0$ なので不適。
- $n_{f} = 2$ では $b_{0} = 13/3 > 0$ 、 $b_{1} = 102 - 166.7 < 0$ で適する。
- $n_{f} = 3$ では $b_{0} = 1 > 0$ 、 $b_{1} = 102 - 250 < 0$ で適する。
- $n_{f} = 4$ では $b_{0} = 11 - 13.3 < 0$ で漸近的自由性を失う。

以上より、答えは $n_{f} = 2, 3$ である。

この問題の確認

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