結合定数の走りと 2 ループの赤外固定点

1 ループの解 $\frac{1}{α ( μ )} = \frac{1}{α ( μ _{0} )} + \frac{b _{0}}{2 π} lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ を、重い粒子のしきい値で $b_{0}$ を切り替えてつなぎ、与えられた 2 ループ係数 $b_{1}$ から $b_{0} > 0$ かつ $b_{1} < 0$ となるバンクス・ザックス固定点の範囲や固定点の値 $g_{*}^{2} = - 16 π^{2} b_{0} / b_{1}$ を求められる

前提

非可換ゲージ理論の 1 ループベータ関数と漸近的自由性（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
変数分離形（大学数学微分方程式）

この技能までの道筋（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

ゲージ結合定数は見るエネルギースケール $μ$ によって値が変わり（結合定数の走り）、その変わり方はベータ関数で決まります。この技能では、1 ループのベータ関数を解いた $\frac{1}{α ( μ )} = \frac{1}{α ( μ _{0} )} + \frac{b _{0}}{2 π} lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ を使って結合を別のスケールへ運び、重い粒子の質量（しきい値）をまたぐときは $b_{0}$ を切り替えてつなぎます。さらに 2 ループ係数 $b_{1}$ まで含めると、 $b_{0} > 0$ かつ $b_{1} < 0$ のときに結合が低エネルギーで有限の値 $g_{*}^{2} = - 16 π^{2} b_{0} / b_{1}$ に止まる赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れることを使い、その存在範囲や値を求めます。

なぜそうしてよいのか

ベータ関数の流儀を $β (g) \equiv μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5} + \dots$ 、 $α = \frac{g ^{2}}{4 π}$ とします（ $b_{0}$ は前提の技能の 1 ループ係数）。 $μ \frac{d α}{d μ} = \frac{2 g}{4 π} β (g)$ なので、1 ループでは $μ \frac{d α}{d μ} = - \frac{b _{0}}{2 π} α^{2}$ 。 $t = lo g μ$ とおけば $\frac{d α}{d t} = - \frac{b _{0}}{2 π} α^{2}$ という変数分離形で、 $α \neq = 0$ として変数を分けると $\frac{d α}{α ^{2}} = - \frac{b _{0}}{2 π} d t$ 、つまり $d (\frac{1}{α}) = - \frac{d α}{α ^{2}} = + \frac{b _{0}}{2 π} d t$ です。 $t_{0} = lo g μ_{0}$ から $t = lo g μ$ まで積分すると $\frac{1}{α ( μ )} - \frac{1}{α ( μ _{0} )} = \frac{b _{0}}{2 π} lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ となり、 $\frac{1}{α}$ は $lo g μ$ の 1 次関数になります。これが上の 1 ループの解で、 $b_{0} > 0$ なら $μ$ が大きいほど $α$ は小さく（漸近的自由）、 $μ$ を下げると $α$ は大きくなります。

$b_{0}$ はその場で軽い（質量が $μ$ より小さい）粒子だけで決まります。質量 $M$ の重い粒子は、 $μ ≫ M$ ではループに効きますが、 $μ ≪ M$ ではループに現れなくなります（デカップリング）。最も簡単な近似では、 $μ > M$ ではその粒子を含めた $b_{0}^{(high)}$ 、 $μ < M$ では除いた $b_{0}^{(low)}$ を使い、1 ループでは $α$ を $μ = M$ で連続につなぎます。 $\frac{1}{α}$ のグラフは $lo g μ$ について折れ線になり、傾きが $\frac{b _{0}}{2 π}$ からしきい値ごとに変わります。

2 ループまで含めると $β (g) = - \frac{g ^{3}}{16 π ^{2}} [b_{0} + \frac{b _{1}}{16 π ^{2}} g^{2}]$ です。 $g \neq = 0$ で $β = 0$ となるのは $g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}}$ で、これが正になるには $b_{0}$ と $b_{1}$ が異符号でなければなりません。 $b_{0} > 0$ かつ $b_{1} < 0$ なら、 $0 < g^{2} < g_{*}^{2}$ では $β < 0$ なので $μ$ を下げると $g$ は増えますが、 $g_{*}$ に近づくと $β \to 0$ で増加が止まり、 $g$ は赤外で $g_{*}$ に近づきます（赤外固定点）。 $b_{0}$ が小さい（漸近的自由になるぎりぎりの）ときは $g_{*}^{2}$ も小さく、摂動計算が信頼できる固定点になります。これをバンクス・ザックス固定点といいます。

手順

ベータ関数の流儀 $β (g) = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5}$ と $α = g^{2} /4 π$ を確認し、問題の係数がこの流儀かどうかを確かめる
結合を運ぶとき: しきい値（重い粒子の質量）で $μ$ の範囲を区間に分け、区間ごとに、その区間で軽い粒子だけを入れた $b_{0}$ を求める
区間ごとに $\frac{1}{α ( μ )} = \frac{1}{α ( μ _{0} )} + \frac{b _{0}}{2 π} lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ を使い、しきい値 $μ = M$ で $α$ を連続につないで次の区間へ進む
固定点を調べるとき: $b_{0} > 0$ と $b_{1} < 0$ を同時に満たす条件（フレーバー数などの範囲）を求める
固定点の値は $g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}}$ 、必要なら $α_{*} = \frac{g _{*}^{2}}{4 π} = - \frac{4 π b _{0}}{b _{1}}$ に直す

例題

ゲージ群 $S U (3)$ に、基本表現の質量ゼロのディラック・フェルミオンが $N_{f}$ 個（ $N_{f}$ は正の整数）結合している理論を考える。ベータ関数を $β (g) = μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5}$ と書くとき、 $b_{0} = 11 - \frac{2}{3} N_{f}$ 、 $b_{1} = 102 - \frac{38}{3} N_{f}$ である。2 ループまでのベータ関数で、 $b_{0} > 0$ かつ $b_{1} < 0$ となって摂動的な赤外固定点 $g_{*}^{2} = - 16 π^{2} b_{0} / b_{1} > 0$ が存在する $N_{f}$ をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1: 与えられた $β (g)$ は上の流儀そのものなので、 $b_{0}, b_{1}$ をそのまま使える。

手順 2・3: フェルミオンはすべて質量ゼロなので、しきい値はなく、すべての $μ$ で同じ $b_{0}, b_{1}$ を使えばよい（区間に分けてつなぐ作業は不要）。

手順 4: $b_{0} > 0$ は $11 - \frac{2}{3} N_{f} > 0$ 、すなわち $N_{f} < \frac{33}{2} = 16.5$ 。 $b_{1} < 0$ は $102 - \frac{38}{3} N_{f} < 0$ 、すなわち $N_{f} > \frac{306}{38} = \frac{153}{19} \approx 8.05$ 。 $N_{f}$ は正の整数なので $9 \leq N_{f} \leq 16$ 。

手順 5: この範囲では $g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}} > 0$ となり固定点が存在する。例えば $N_{f} = 16$ では $b_{0} = \frac{1}{3}$ 、 $b_{1} = - \frac{302}{3}$ で $g_{*}^{2} = \frac{16 π ^{2}}{302} = \frac{8 π ^{2}}{151}$ 、 $α_{*} = \frac{2 π}{151} \approx 0.042$ と小さく、摂動的に信頼できる。

よって $N_{f} = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ 。

答え: ${9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}$

よくある誤り

しきい値より下の区間でも、重い粒子を含めた $b_{0}$ を使い続けてしまう誤り。例えば質量 $M$ の重いフェルミオンがあれば、 $μ < M$ ではそれを除いた $b_{0}^{(low)}$ を使い、 $\frac{1}{α ( μ )} = \frac{1}{α ( M )} + \frac{b _{0}^{(low)}}{2 π} lo g \frac{μ}{M}$ とつなぐ
$lo g \frac{μ}{μ _{0}}$ の向きを逆にしてしまう誤り。 $b_{0} > 0$ で $μ < μ_{0}$ なら $lo g \frac{μ}{μ _{0}} < 0$ なので $\frac{1}{α ( μ )} < \frac{1}{α ( μ _{0} )}$ 、つまり低エネルギーほど結合は強い。 $\frac{1}{α ( μ )} = \frac{1}{α ( μ _{0} )} + \frac{b _{0}}{2 π} lo g \frac{μ _{0}}{μ}$ と書くと符号が逆になる
固定点の条件を $b_{1} > 0$ としてしまう誤り。この流儀では $β = - \frac{g ^{3}}{16 π ^{2}} [b_{0} + \frac{b _{1} g ^{2}}{16 π ^{2}}]$ なので、 $b_{0} > 0$ のもとで零点 $g_{*}^{2} = - 16 π^{2} b_{0} / b_{1}$ が正になるのは $b_{1} < 0$ のとき。流儀によって $b_{1}$ の符号の付け方が違うので、まず $β$ の形を確認する
$g_{*}^{2}$ と $α_{*}$ を混同する誤り。 $g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}}$ に対して $α_{*} = \frac{g _{*}^{2}}{4 π} = - \frac{4 π b _{0}}{b _{1}}$ であり、 $α_{*} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}}$ ではない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
4 次元時空のゲージ群 $S U (3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_{f}$ 個（ $N_{f}$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$μ \frac{d g}{d μ} = β (g) = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5}$
と書く。この理論では
$b_{0} = 11 - \frac{2}{3} N_{f}, b_{1} = 102 - \frac{38}{3} N_{f}$
である。 $N_{f} = 16$ のとき、 $β (g) = 0$ を満たす $g \neq = 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{*}^{2}$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
ゲージ群 $S U (3)$ のヤン・ミルズ理論に、質量のない $n_{f}$ 個（ $n_{f}$ は正の整数）のディラック・フェルミオンを結合させる。各フェルミオンは $S U (3)$ の既約表現 $R$ に属する。 $R$ はディンキン標識（最高ウェイトの成分）が $(p, q) = (2, 0)$ の既約表現（2 階対称テンソル表現）とする。
リー代数の生成子は、基本表現 $3$ で $tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} δ^{ab}$ となるように規格化する。表現 $R$ の 2 次カシミール演算子を $\sum_{a} T_{R}^{a} T_{R}^{a} = C_{2} (R) 1$ 、ディンキン指数を $tr (T_{R}^{a} T_{R}^{b}) = T (R) δ^{ab}$ で定め、 $C_{A} = C_{2} (随伴表現)$ とおく。
結合定数 $g$ のベータ関数を
$β (g) = μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5} + O (g^{7})$
と書くと、係数は
$b_{0} = \frac{11}{3} C_{A} - \frac{4}{3} T (R) n_{f}, b_{1} = \frac{34}{3} C_{A}^{2} - \frac{20}{3} C_{A} T (R) n_{f} - 4 C_{2} (R) T (R) n_{f}$
で与えられる。これらは質量に依存しない繰り込みスキームでの値であり、スキームの選び方によらない。
漸近的自由性をもち（ $b_{0} > 0$ ）、かつ 2 ループの近似で非自明な赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れる（ $b_{1} < 0$ ）ような $n_{f}$ をすべて求めよ。