ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型

4 次元時空のゲージ群 $S U (3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_{f}$ 個（ $N_{f}$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$μ \frac{d g}{d μ} = β (g) = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3} - \frac{b _{1}}{( 16 π ^{2} ) ^{2}} g^{5}$
と書く。この理論では
$b_{0} = 11 - \frac{2}{3} N_{f}, b_{1} = 102 - \frac{38}{3} N_{f}$
である。 $N_{f} = 16$ のとき、 $β (g) = 0$ を満たす $g \neq = 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{*}^{2}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

結合定数の走りと 2 ループの赤外固定点（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（83 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「結合定数の走りと 2 ループの赤外固定点」を使う。 $β (g)$ を $g^{3}$ でくくり、残りの因子が $0$ になる $g^{2}$ を求める。

ヒント 2

$g \neq = 0$ の固定点は $g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}}$ 。正の値になるのは $b_{0} > 0$ かつ $b_{1} < 0$ のとき。

ヒント 3

$N_{f} = 16$ では $b_{0} = \frac{1}{3}$ 、 $b_{1} = 102 - \frac{608}{3}$ となる。

答えと解説

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\frac{8 π ^{2}}{151}

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解説を読む

固定点の式 $β (g) = - \frac{g ^{3}}{16 π ^{2}} (b_{0} + \frac{b _{1}}{16 π ^{2}} g^{2})$ なので、 $g \neq = 0$ の零点は
$b_{0} + \frac{b _{1}}{16 π ^{2}} g_{*}^{2} = 0 ⟹ g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}}$
である。 $g_{*}^{2} > 0$ となる（物理的な固定点が存在する）には $b_{0}$ と $b_{1}$ が異符号であることが必要で、 $b_{0} > 0$ （紫外で漸近的自由）かつ $b_{1} < 0$ のとき、赤外で結合がこの値に近づく。

係数を計算する $N_{f} = 16$ を代入すると
$b_{0} = 11 - \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{33 - 32}{3} = \frac{1}{3} > 0,$
$b_{1} = 102 - \frac{38}{3} \cdot 16 = \frac{306 - 608}{3} = - \frac{302}{3} < 0.$
よって $b_{0} > 0$ , $b_{1} < 0$ で、固定点が存在する。

固定点の値
$g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} \cdot \frac{1}{3}}{- \frac{302}{3}} = \frac{16 π ^{2}}{302} = \frac{8 π ^{2}}{151} .$

（ $α_{*} = \frac{g _{*}^{2}}{4 π} = \frac{2 π}{151} \approx 0.042$ と小さく、2 ループまでの近似が比較的信頼できる値になっている。 $b_{0}$ が小さいほど固定点は弱結合になる。）

別解

$N_{f} = 16$ で $b_{0} = 11 - \frac{32}{3} = \frac{1}{3}$ 、 $b_{1} = 102 - \frac{608}{3} = - \frac{302}{3}$ 。
$β (g) = - \frac{g ^{3}}{16 π ^{2}} [b_{0} + \frac{b _{1} g ^{2}}{16 π ^{2}}] = 0$ 、 $g \neq = 0$ より $b_{0} + \frac{b _{1} g _{*}^{2}}{16 π ^{2}} = 0$ 。
$g_{*}^{2} = - \frac{16 π ^{2} b _{0}}{b _{1}} = 16 π^{2} \cdot \frac{1/3}{302/3} = \frac{16 π ^{2}}{302} = \frac{8 π ^{2}}{151}$ 。
検算: $\frac{8 π ^{2}}{151} \approx 0.523 > 0$ で、 $b_{1} < 0$ なので固定点が存在する。代入すると $\frac{1}{3} - \frac{302}{3} \cdot \frac{1}{302} = 0$ 。

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