ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

ゲージ群 $SU(N)$ のゲージ理論を考える。物質場は次の 2 種類のディラック・フェルミオンだけとし、スカラー場は含まないものとする。

• 3 階反対称テンソル表現 ${\Lambda }^3$（次元 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$）に属するディラック・フェルミオン 1 個
• 基本表現に属するディラック・フェルミオン $n_f$ 個

表現 $R$ の生成子 $T_R^a$ について $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で指数 $T(R)$ を定め、基本表現では $T(\text{fund})=\frac{1}{2}$ と規格化する。また随伴表現の 2 次カシミール演算子の値を $C_2(G)$ とする。結合定数 $g$ のベータ関数の 1 ループの結果は
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
で与えられる。理論が（1 ループで）漸近的自由であるとは $b_0>0$ が成り立つことと定める。

$N$ は $N\ge 6$ を満たす整数、$n_f$ は $0$ 以上の整数とする。理論が漸近的自由となるような整数の組 $(N,n_f)$ の個数を求めよ。

4 次元時空のゲージ群 $SU(3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5$$
と書く。この理論では
$$b_0=11-\frac{2}{3}{N}_f,b_1=102-\frac{38}{3}{N}_f$$
である。$N_f=16$ のとき、$\beta (g)=0$ を満たす $g\ne 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{\ast }^2$ の値を求めよ。

ゲージ群 $SU(3)$ のヤン・ミルズ理論に、質量のない $n_f$ 個（$n_f$ は正の整数）のディラック・フェルミオンを結合させる。各フェルミオンは $SU(3)$ の既約表現 $R$ に属する。$R$ はディンキン標識（最高ウェイトの成分）が $(p,q)=(2,0)$ の既約表現（2 階対称テンソル表現）とする。

リー代数の生成子は、基本表現 $3$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化する。表現 $R$ の 2 次カシミール演算子を ${\sum }_a{T}_R^a{T}_R^a=C_2(R)1$、ディンキン指数を $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定め、$C_A=C_2(\text{随伴表現})$ とおく。

結合定数 $g$ のベータ関数を
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5+O(g^7)$$
と書くと、係数は
$$b_0=\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}T(R)n_f,b_1=\frac{34}{3}{C}_A^2-\frac{20}{3}{C}_{A}T(R)n_f-4C_2(R)T(R)n_f$$
で与えられる。これらは質量に依存しない繰り込みスキームでの値であり、スキームの選び方によらない。

漸近的自由性をもち（$b_0>0$）、かつ 2 ループの近似で非自明な赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れる（$b_1<0$）ような $n_f$ をすべて求めよ。

$\mathrm{SU}(3)$ の既約表現をディンキン標識 $(p,q)$（$p,q$ は 0 以上の整数）で表す。この表現の次元と 2 次カシミール演算子の値はそれぞれ
$$\dim (p,q)=\frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2),C_2(p,q)=\frac{1}{3}\left(p^2+q^2+pq+3p+3q\right)$$
で与えられる。ここで生成子は、基本表現 $(1,0)$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化されている（このとき $C_2(1,0)=\frac{4}{3}$）。

表現 $R$ のディンキン指数 $T(R)$ を ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定義する。対称テンソル表現 $R=(2,0)$ のディンキン指数 $T(R)$ を求めよ。

ゲージ群 $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ のゲージ理論で、フェルミオンをすべて左巻きワイル・フェルミオンで書く。電荷は $Q=T_3+Y$ とする。1 世代のフェルミオンが次の 5 つの多重項からなるとする（表記は $(SU(3{)}_C\text{ の表現},SU(2{)}_L\text{ の表現},Y)$）。
$$Q:\left(3,2,\frac{1}{6}\right),u^c:\left(\bar{3},1,-\frac{2}{3}\right),d^c:\left(\bar{3},1,y\right),L:\left(1,2,-\frac{1}{2}\right),e^c:\left(1,1,1\right)$$
$SU(3{)}_C^{2}U(1{)}_Y$ 型のゲージアノマリーが消えるように、$d^c$ の超電荷 $y$ を求めよ。ただし、$SU(3)$ の基本表現 $3$ と反基本表現 $\bar{3}$ のディンキン指数はともに $T(3)=T(\bar{3})=\frac{1}{2}$ とする。