非可換ゲージ理論の 1 ループベータ関数と漸近的自由性

$b_{0} = \frac{11}{3} C_{2} (G) - \frac{4}{3} \sum_{Dirac} T (R) - \frac{1}{3} \sum_{複素スカラー} T (R)$ に物質場の表現の指数を入れて $b_{0}$ を求め、漸近的自由になる条件（ $b_{0} > 0$ ）を満たすフレーバー数やゲージ群の組を数えられる

前提

SU(N) の既約表現の次元・カシミール・ディンキン指数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）

この技能までの道筋（58 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
リー環の括弧積と随伴表現（大学院数学リー群・リー環）
sl₂ の有限次元表現（大学院数学表現論）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
ルート系と鏡映（大学院数学リー群・リー環）
ルート系と基本ウェイト（大学院数学表現論）
ワイルの次元公式（大学院数学表現論）
SU(N) の既約表現の次元・カシミール・ディンキン指数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）

説明

非可換ゲージ理論の結合定数 $g$ がエネルギースケール $μ$ とともにどう変わるかは、1 ループでは $μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3}$ で決まり、その係数は
$b_{0} = \frac{11}{3} C_{2} (G) - \frac{4}{3} Dirac \sum T (R) - \frac{1}{3} 複素スカラー \sum T (R)$
で与えられます。この技能では、ゲージ群と物質場の表現から $b_{0}$ を計算し、 $b_{0} > 0$ （高エネルギーで結合が弱くなる＝漸近的自由）となる条件から、許されるフレーバー数の上限などを求めます。QCD が漸近的自由であるためのクォークの数の制限や、大統一理論・新しい強結合理論のモデル作りで最初に確かめる量です。

なぜそうしてよいのか

係数の各項は、真空中の量子ゆらぎ（仮想粒子の対）が電荷をどう見せるかを表しています。電子と陽電子の仮想対は電荷のまわりで分極して電荷を遮蔽するので、遠く（低エネルギー）では電荷が小さく、近く（高エネルギー）では大きく見えます。これは $b_{0}$ に負の寄与をします。物質場の寄与 $- \frac{4}{3} T (R)$ （ディラック・フェルミオン 1 個）や $- \frac{1}{3} T (R)$ （複素スカラー 1 個）はまさにこの遮蔽で、物質場がゲージ場と結合する強さが $Tr_{R} (T^{a} T^{b}) = T (R) δ^{ab}$ で測られるため、ディンキン指数 $T (R)$ に比例します。

非可換ゲージ理論では、ゲージ場自身がゲージ荷（色）をもち、ゲージ場どうしが相互作用します。そのためゲージ場の仮想ゆらぎも寄与し、計算するとこれは遮蔽とは逆向き（反遮蔽）で、大きさは随伴表現の 2 次カシミール $C_{2} (G)$ （SU(N) では $N$ ）に比例して $+ \frac{11}{3} C_{2} (G)$ になります。反遮蔽が遮蔽に勝って $b_{0} > 0$ なら、 $μ \frac{d g}{d μ} < 0$ となり、高エネルギーで $g \to 0$ に近づきます。これが漸近的自由性です。 $b_{0} = 0$ ちょうどでは 1 ループで結合が走らないので、漸近的自由には含めません。1 ループ係数 $b_{0}$ は正則化・繰り込みの流儀によらない量です。

物質場の数え方の換算も押さえておきます。ディラック・フェルミオンは 2 個のワイル（左巻き・右巻き）フェルミオンからなるので、ワイル・フェルミオン 1 個は $- \frac{2}{3} T (R)$ 、複素スカラーは 2 個の実スカラーからなるので、実スカラー 1 個は $- \frac{1}{6} T (R)$ の寄与です。SU(N) では $C_{2} (G) = N$ 、基本表現 $T = \frac{1}{2}$ 、随伴表現 $T = N$ 、2 階反対称テンソル $T = \frac{N - 2}{2}$ 、2 階対称テンソル $T = \frac{N + 2}{2}$ です。

手順

ゲージ群を確認し、 $C_{2} (G)$ を求める（SU(N) なら $N$ ）
物質場を、ディラック・フェルミオン（ワイルなら半分に換算）と複素スカラー（実スカラーなら半分に換算）に分け、それぞれの表現のディンキン指数 $T (R)$ を求める
表現ごとの個数を掛けて足し、 $b_{0} = \frac{11}{3} C_{2} (G) - \frac{4}{3} \sum_{Dirac} T (R) - \frac{1}{3} \sum_{複素スカラー} T (R)$ を計算する
漸近的自由の条件 $b_{0} > 0$ （等号は含まない）を、フレーバー数などの未知数についての不等式として解く
未知数が整数（フレーバー数など）なら、条件を満たす整数の範囲から最大値や個数を数える（ $b_{0} = 0$ となる整数は除く）

例題

ゲージ群 SU(4) の理論に、基本表現のディラック・フェルミオンが $N_{f}$ 個と、随伴表現のディラック・フェルミオンが 1 個あり、スカラー場はないとする。1 ループのベータ関数を $μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3}$ と書くとき、この理論が漸近的自由（ $b_{0} > 0$ ）となる $N_{f}$ （0 以上の整数）の最大値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】SU(4) なので $C_{2} (G) = 4$ 。

【手順 2】基本表現は $T = \frac{1}{2}$ 、随伴表現は $T = 4$ 。スカラーはない。

【手順 3】
$b_{0} = \frac{11}{3} \cdot 4 - \frac{4}{3} (N_{f} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 4) = \frac{44}{3} - \frac{2 N _{f}}{3} - \frac{16}{3} = \frac{28 - 2 N _{f}}{3}$

【手順 4】 $b_{0} > 0$ より $28 - 2 N_{f} > 0$ 、すなわち $N_{f} < 14$ 。

【手順 5】 $N_{f}$ は 0 以上の整数なので $N_{f} \leq 13$ 。 $N_{f} = 14$ では $b_{0} = 0$ となり漸近的自由ではない。最大値は 13。

答え: $13$

よくある誤り

ディンキン指数の代わりに表現の次元を入れてしまう誤り。SU(4) の随伴表現で $T = dim G = 15$ とすると $b_{0} = \frac{44}{3} - \frac{2 N _{f}}{3} - 20 < 0$ となってしまうが、正しくは随伴表現の指数は $T = N = 4$
ワイル・フェルミオンをディラックと同じ $\frac{4}{3} T (R)$ で数えてしまう誤り。例えば随伴表現のワイル・フェルミオン 1 個（ゲージーノ）を $- \frac{4}{3} N$ とするが、正しくは半分の $- \frac{2}{3} N$ 。SU(N) の純粋な超対称ゲージ理論では $b_{0} = \frac{11}{3} N - \frac{2}{3} N = 3 N$
境界の $b_{0} = 0$ を漸近的自由に含めてしまう誤り。例えば SU(2) と基本表現のディラック・フェルミオン $N_{f}$ 個では $b_{0} = \frac{22}{3} - \frac{2}{3} N_{f} = \frac{22 - 2 N _{f}}{3}$ で、 $N_{f} = 11$ のとき $b_{0} = 0$ になる。 $b_{0} \geq 0$ として $N_{f} \leq 11$ とするのは誤りで、正しくは $b_{0} > 0$ より $N_{f} < 11$ 、漸近的自由なのは $N_{f} \leq 10$ で、 $N_{f} = 11$ は含めない
複素スカラーと実スカラーの係数を取り違える誤り。実スカラーの基本表現の場を $- \frac{1}{3} T (R)$ で数えるが、実スカラー 1 個は複素スカラーの半分で $- \frac{1}{6} T (R)$ 。逆に SU(2) のヒッグス 2 重項（複素スカラー）は $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{6}$ の寄与

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ゲージ群 $SU (2)$ のゲージ理論に、基本表現（2 次元表現）に属する質量ゼロのディラック・フェルミオンが $N_{f}$ 個（ $N_{f}$ は 0 以上の整数）結合しており、スカラー場はないとする。結合定数 $g$ の 1 ループのベータ関数を
$μ \frac{d g}{d μ} = - \frac{b _{0}}{16 π ^{2}} g^{3}, b_{0} = \frac{11}{3} C_{2} (G) - \frac{4}{3} Dirac \sum T (R)$
と書く。ここで随伴表現の 2 次カシミールは $C_{2} (G) = 2$ 、基本表現のディンキン指数は $T (2) = \frac{1}{2}$ である。
この理論が漸近的自由（ $b_{0} > 0$ ）となるような $N_{f}$ の最大値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

結合定数の走りと 2 ループの赤外固定点（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）