ゲージ理論と素粒子の標準模型の問題

ゲージ群 $\mathrm{SU}(2)$ のゲージ理論に、基本表現（2 次元表現）に属する質量ゼロのディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は 0 以上の整数）結合しており、スカラー場はないとする。結合定数 $g$ の 1 ループのベータ関数を
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3,b_0=\frac{11}{3}{C}_2(G)-\frac{4}{3}\sum _{\text{Dirac}}T(R)$$
と書く。ここで随伴表現の 2 次カシミールは $C_2(G)=2$、基本表現のディンキン指数は $T(2)=\frac{1}{2}$ である。

この理論が漸近的自由（$b_0>0$）となるような $N_f$ の最大値を求めよ。

ゲージ群 $SU(3)$ のヤン・ミルズ理論に、質量のない $n_f$ 個（$n_f$ は正の整数）のディラック・フェルミオンを結合させる。各フェルミオンは $SU(3)$ の既約表現 $R$ に属する。$R$ はディンキン標識（最高ウェイトの成分）が $(p,q)=(2,0)$ の既約表現（2 階対称テンソル表現）とする。

リー代数の生成子は、基本表現 $3$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化する。表現 $R$ の 2 次カシミール演算子を ${\sum }_a{T}_R^a{T}_R^a=C_2(R)1$、ディンキン指数を $\mathrm{tr}(T_R^a{T}_R^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定め、$C_A=C_2(\text{随伴表現})$ とおく。

結合定数 $g$ のベータ関数を
$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5+O(g^7)$$
と書くと、係数は
$$b_0=\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}T(R)n_f,b_1=\frac{34}{3}{C}_A^2-\frac{20}{3}{C}_{A}T(R)n_f-4C_2(R)T(R)n_f$$
で与えられる。これらは質量に依存しない繰り込みスキームでの値であり、スキームの選び方によらない。

漸近的自由性をもち（$b_0>0$）、かつ 2 ループの近似で非自明な赤外固定点（バンクス・ザックス固定点）が現れる（$b_1<0$）ような $n_f$ をすべて求めよ。

4 次元時空のゲージ群 $SU(3)$ のゲージ理論に、基本表現の質量のないディラック・フェルミオンが $N_f$ 個（$N_f$ は非負の整数）あるとする。ゲージ結合定数 $g$ のベータ関数を、2 ループまでで
$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)=-\frac{b_0}{16{\pi }^2}{g}^3-\frac{b_1}{(16{\pi }^2{)}^2}{g}^5$$
と書く。この理論では
$$b_0=11-\frac{2}{3}{N}_f,b_1=102-\frac{38}{3}{N}_f$$
である。$N_f=16$ のとき、$\beta (g)=0$ を満たす $g\ne 0$ の固定点（バンクス・ザックス固定点）での $g_{\ast }^2$ の値を求めよ。

$\mathrm{SU}(3)$ の既約表現をディンキン標識 $(p,q)$（$p,q$ は 0 以上の整数）で表す。この表現の次元と 2 次カシミール演算子の値はそれぞれ
$$\dim (p,q)=\frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2),C_2(p,q)=\frac{1}{3}\left(p^2+q^2+pq+3p+3q\right)$$
で与えられる。ここで生成子は、基本表現 $(1,0)$ で $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab}$ となるように規格化されている（このとき $C_2(1,0)=\frac{4}{3}$）。

表現 $R$ のディンキン指数 $T(R)$ を ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)=T(R){\delta }^{ab}$ で定義する。対称テンソル表現 $R=(2,0)$ のディンキン指数 $T(R)$ を求めよ。

$u,d,s,c$ の 4 種類のクォークからなるフレーバー $SU(4)$ のクォーク模型を考える。各クォークの量子数は次のとおりとする。

• $u,d$：アイソスピン $I=\frac{1}{2}$、その第 3 成分は $I_3(u)=+\frac{1}{2},I_3(d)=-\frac{1}{2}$。ストレンジネス・チャームはともに $0$
• $s$：$I=0$、ストレンジネス $S=-1$、チャーム $C=0$
• $c$：$I=0$、$S=0$、チャーム $C=+1$
• すべてのクォークのバリオン数は $B=\frac{1}{3}$

ハイパーチャージを $Y=B+S+C$ と定義し、電荷（電気素量 $e$ を単位とする）は一般化されたゲルマン・西島の公式
$$Q=I_3+\frac{Y}{2}$$
で与えられるとする。

軌道角運動量 $0$ でスピン $J=\frac{3}{2}$ の基底状態バリオン（クォーク 3 個からなり、フレーバーについて完全対称な状態）は、フレーバー $SU(4)$ の 20 次元表現をなす。この 20 個のフレーバー状態すべてについての和
$$\sum _{\text{20 状態}}QY$$
を求めよ。答えは整数で答えよ。