リー環の括弧積と随伴表現

$\mathfrak{g}$ を基底 $e_1,e_2,e_3$ をもつ $3$ 次元の実リー環とし、括弧積が
$$[e_1,e_2]=2e_2,[e_1,e_3]=-e_3,[e_2,e_3]=0$$
で与えられているとする（括弧積は双線形かつ交代的で、ヤコビ恒等式をみたす）。$X=e_1+e_2$ とおき、線形写像 $\mathrm{ad}X:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g},Z\mapsto [X,Z]$ を考える。$\mathrm{ad}X$ のトレース $\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X)$ と核の次元 $\dim \ker (\mathrm{ad}X)$ を、この順に組で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$n$ 次の実上三角行列全体のなす実リー環 $${\mathfrak{b}}_n=\{X\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\mid i>j\text{ のとき }{X}_{ij}=0\}$$ を考える（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）。${\mathfrak{b}}_n$ のキリング形式を $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$（$\mathrm{ad}X$ は ${\mathfrak{b}}_n$ 上の線形写像 $Z\mapsto [X,Z]$）で定める。$B$ の根基 $$\mathrm{rad}B=\{X\in {\mathfrak{b}}_n\mid \text{すべての }Y\in {\mathfrak{b}}_n\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

複素リー環 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})\mid \mathrm{tr}X=0\}$（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を、スカラーを実数に制限して $6$ 次元の実リー環とみなしたものを $\mathfrak{g}$ とする。$\mathfrak{g}$ の（実リー環としての）キリング形式
$$B(X,Y)={\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
を考える。ここで ${\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}$ は $\mathfrak{g}$ を $6$ 次元実ベクトル空間とみたときの線形写像のトレースである。実対称双線形形式 $B$ の符号数、すなわち $B$ を表す実対称行列の正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$ を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})\oplus {\mathbb{R}}^2$（$6$ 次元）に、括弧積 $$[(X,v),(Y,w)]=(XY-YX,Xw-Yv)(X,Y\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}),v,w\in {\mathbb{R}}^2)$$ を入れた実リー環（$2$ 次元アフィン変換群のリー環）を考える。ここで ${\mathbb{R}}^2$ の元は列ベクトルとし、$Xw$ は行列とベクトルの積である。$\mathfrak{g}$ のキリング形式 $B(Z_1,Z_2)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}{Z}_1\circ \mathrm{ad}{Z}_2)$ は $\mathfrak{g}$ 上の実対称双線形形式である。$B$ の正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$（$B$ を表す対称行列の正の固有値の個数と負の固有値の個数）を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

複素リー環 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})\mid \mathrm{tr}X=0\}$（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を考え、そのキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
とする。$V={\mathrm{Sym}}^2({\mathbb{C}}^3)$ を ${\mathbb{C}}^3$ の $2$ 次対称テンソル全体（$6$ 次元）とし、$\mathfrak{g}$ の表現 $\rho :\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$ を
$$\rho (X)(vw)=(Xv)w+v(Xw)(v,w\in {\mathbb{C}}^3)$$
で定める。$\mathfrak{g}$ の基底 $X_1,\dots ,X_8$ と、$B$ に関する双対基底 $X^1,\dots ,X^8$（$B(X_i,X^j)={\delta }_{ij}$）をとり、カシミール作用素を
$${\Omega }_V=\sum _{i=1}^8\rho (X_i)\rho (X^i)\in \mathrm{End}(V)$$
と定める。${\Omega }_V$ は基底の取り方によらず、$V$ 上で恒等写像のスカラー倍 $c{\mathrm{id}}_V$ として作用することが知られている。このスカラー $c$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$V_n$ を $x,y$ に関する複素係数の $n$ 次斉次多項式全体のなす $n+1$ 次元複素ベクトル空間とし、$X=(x_{ij})\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})$ に対して $V_n$ 上の線形変換 ${\rho }_n(X)$ を、微分作用素
$${\rho }_n(X)=(x_{11}x+x_{21}y)\frac{\partial }{\partial x}+(x_{12}x+x_{22}y)\frac{\partial }{\partial y}$$
で定める（${\rho }_n$ は $\mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})$ の表現 ${\mathrm{Sym}}^n({\mathbb{C}}^2)$ である）。複素ベクトル空間 $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})\oplus V_n$ に括弧積
$$[(X,f),(Y,g)]=(XY-YX,{\rho }_n(X)g-{\rho }_n(Y)f)$$
を入れて得られる複素リー環を考え、そのキリング形式を $B(u,v)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}u\mathrm{ad}v)$ とする。このとき、ある複素数 $a,b$ が存在して、すべての $X,Y\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})$ に対して
$$B((X,0),(Y,0))=a\mathrm{tr}(XY)+b\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y$$
が成り立ち、このような $a,b$ はただ 1 組に定まる。組 $(a,b)$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$\mathfrak{g}={\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{C})$（$n$ 次複素正方行列全体に括弧積 $[X,Y]=XY-YX$ を入れたリー環）とする。$X\in \mathfrak{g}$ に対し $\mathrm{ad}X:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ を $\mathrm{ad}X(Z)=[X,Z]$ で定め、キリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
で定める（右辺の $\mathrm{tr}$ は $n^2$ 次元複素ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ 上の線形写像のトレース）。$B$ の根基
$$\mathrm{Rad}B=\{X\in \mathfrak{g}\mid \text{すべての }Y\in \mathfrak{g}\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$
が、スカラー行列全体 $\{c{I}_n\mid c\in \mathbb{C}\}$ に一致することを証明せよ。