リー群・リー環の問題

$\mathfrak{a}=\{(X,0)\}\cong \mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})$、$V=\{(0,v)\}\cong {\mathbb{R}}^2$ とおく。括弧積の定義から $[\mathfrak{a},\mathfrak{a}]\subset \mathfrak{a}$、$[\mathfrak{a},V]\subset V$、$[V,V]=0$ である。

$V$ は $B$ の根基に含まれる. $v\in V$、$Z\in \mathfrak{g}$ とする。$\mathrm{ad}v$ は $\mathfrak{g}$ を $V$ に写し、$V$ を $0$ に写す。$\mathrm{ad}Z$ は $V$ を $V$ に写す。よって $\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus V$ に関するブロック表示で $$\mathrm{ad}v\circ \mathrm{ad}Z=\left(\begin{array}{cc}O& O\\ \ast & O\end{array}\right)$$ となり（$V$ の元はまず $V$ に写り、次に $0$ になる。$\mathfrak{a}$ の元は最終的に $V$ に入る）、対角ブロックが $0$ なので $B(v,Z)=0$。

$\mathfrak{a}$ 上の $B$. $X,Y\in \mathfrak{a}$ に対し $\mathrm{ad}X$ は $\mathfrak{a}$ と $V$ をそれぞれ保つので、$\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y$ はブロック対角で、 $$B(X,Y)={\mathrm{tr}}_{\mathfrak{gl}(2)}(\mathrm{ad}X\mathrm{ad}Y)+{\mathrm{tr}}_{{\mathbb{R}}^2}(XY).$$ 第 1 項を計算する。$\mathfrak{gl}(n)$ 上の左乗法 $L_A(Z)=AZ$、右乗法 $R_A(Z)=ZA$ について $\mathrm{tr}(L_A)=n\mathrm{tr}A$、$\mathrm{tr}(R_A)=n\mathrm{tr}A$、$\mathrm{tr}(L_A{R}_B)=\mathrm{tr}A\mathrm{tr}B$ が成り立ち、$L$ と $R$ は可換である。$\mathrm{ad}X=L_X-R_X$ より $$\mathrm{ad}X\mathrm{ad}Y=L_{XY}-L_X{R}_Y-L_Y{R}_X+R_{YX}$$ なので、$n=2$ として $$\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\mathrm{ad}Y)=2\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y+2\mathrm{tr}(XY)=4\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y.$$ したがって $$B(X,Y)=5\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y.$$

符号の計算. $\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})=\mathbb{R}I\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ と分ける。$Y\in \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ なら $B(I,Y)=5\mathrm{tr}Y-2\cdot 2\cdot 0=0$ で、この分解は $B$ に関して直交する。
- $B(I,I)=5\cdot 2-2\cdot 2\cdot 2=2>0$。
- $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ の基底 $H=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, $E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, $F=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$ について $B=5\mathrm{tr}(XY)$ を計算すると $B(H,H)=10$、$B(E,F)=5$、$B(H,E)=B(H,F)=B(E,E)=B(F,F)=0$。行列 $\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\end{array}\right)$ の固有値は $\pm 5$ なので、$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 上の符号は正 $2$、負 $1$。

以上より、基底 $I,H,E,F$ と $V$ の基底 $2$ つで $B$ を表すと、正の固有値 $1+2=3$ 個、負の固有値 $1$ 個、$0$ の固有値 $2$ 個（$V$ の方向）となる。よって $$(p,q)=(3,1).$$

$\mathfrak{a}={\mathbb{R}}^2$ は $\mathfrak{g}$ のイデアル（アーベル）で、$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})⋉{\mathbb{R}}^2$ と書ける。$\mathfrak{g}={\mathfrak{gl}}_2\oplus {\mathbb{R}}^2$ に関する $\mathrm{ad}(X,v)$ を調べる。

$\mathrm{ad}(X,v)(Y,w)=([X,Y],Xw-Yv)$。したがって
- $\mathrm{ad}(X,0)$: ${\mathfrak{gl}}_2$ 上では $\mathrm{ad}X$、${\mathbb{R}}^2$ 上では $w\mapsto Xw$ で、${\mathfrak{gl}}_2$ と ${\mathbb{R}}^2$ を保つ。
- $\mathrm{ad}(0,v)$: $(Y,w)\mapsto (0,-Yv)$。${\mathfrak{gl}}_2\to {\mathbb{R}}^2$ へ写し、${\mathbb{R}}^2$ は $0$ に写すので、ブロック行列では狭義三角（冪零）。

$\mathrm{ad}(X,v)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{ad}X& 0\\ \ast & X\end{array}\right)$（成分は ${\mathfrak{gl}}_2$、${\mathbb{R}}^2$ の順）の形なので、
$$B((X,v),(Y,w))=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\mathrm{ad}Y{)}_{{\mathfrak{gl}}_2}+\mathrm{tr}(XY{)}_{{\mathbb{R}}^2}.$$
$v,w$ は寄与しない。

${\mathfrak{gl}}_n$ のキリング形式は $2n\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y$ なので、$n=2$ で $4\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y$。よって
$$B((X,v),(Y,w))=5\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y.$$

${\mathfrak{gl}}_2=\mathbb{R}I\oplus {\mathfrak{sl}}_2$ と分解する（この分解は $B$ に関して直交）。
- $X=aI,Y=bI$: $5\cdot 2ab-2\cdot 2a\cdot 2b=2ab$。よって $I$ 方向は正（1 個）。
- ${\mathfrak{sl}}_2$ 上: $5\mathrm{tr}(XY)$。$\mathrm{tr}(XY)$ の符号は $(2,1)$（$\mathrm{diag}(1,-1)$ と対称成分が正、反対称な $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ が負）。よって正 2、負 1。
- ${\mathbb{R}}^2$ 方向: $B$ は $0$（2 次元の核）。

合計して正の固有値 $3$ 個、負の固有値 $1$ 個（零固有値 2 個）。$(p,q)=(3,1)$。

検算: $B$ の核は可解根基の可換部分 ${\mathbb{R}}^2$ に一致する（$\mathfrak{g}$ のラジカルは $\mathbb{R}I\oplus {\mathbb{R}}^2$ だが $I$ は $B(I,I)=2\ne 0$）。$p+q=4=\mathrm{rank}B$ で矛盾しない。