リー群・リー環の問題

複素化による $B$ の表示. 四元数 $q=a+bi+cj+dk$ を $q=z+wj$（$z=a+bi,w=c+di\in \mathbb{C}$）と書き、$2$ 次複素行列
$$\phi (q)=\left(\begin{array}{cc}z& w\\ -\bar{w}& \bar{z}\end{array}\right)$$
に対応させると、$\phi$ は単射な実代数準同型で、$\phi (\bar{q})=\phi (q{)}^{\ast }$、$\mathrm{tr}\phi (q)=2\mathrm{Re}q$ をみたす。成分ごとに $\phi$ を施すと $M_3(\mathbb{H})$ は $M_6(\mathbb{C})$ の実部分代数として埋め込まれ、$\phi (X^{\ast })=\phi (X{)}^{\ast }$、$\mathrm{tr}\phi (X)=2\mathrm{Re}\mathrm{tr}X$ となる。したがって $\phi (\mathfrak{g})\subset \mathfrak{sl}(6,\mathbb{C})$ である。

次元を数えると ${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}=4\cdot 9-1=35={\dim }_{\mathbb{C}}\mathfrak{sl}(6,\mathbb{C})$ であり、$\mathfrak{g}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\to \mathfrak{sl}(6,\mathbb{C})$ は全射（$M_3(\mathbb{H})\otimes \mathbb{C}\cong M_6(\mathbb{C})$ より）なので同型である。キリング形式は係数拡大で変わらないから、$\mathfrak{sl}(6,\mathbb{C})$ のキリング形式 $B_{{\mathfrak{sl}}_6}(X,Y)=12\mathrm{tr}(XY)$ を使って
$$B(X,Y)=12\mathrm{tr}(\phi (X)\phi (Y))(X,Y\in \mathfrak{g})$$
となる。この値は $2\cdot 12\mathrm{Re}\mathrm{tr}(XY)$ に等しく、実数である。

$\mathfrak{g}$ の分解.
$$\mathfrak{k}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^{\ast }=-X\},\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^{\ast }=X\}$$
とおくと、$X=\frac{X-X^{\ast }}{2}+\frac{X+X^{\ast }}{2}$ により $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$（ベクトル空間の直和）。

• $X\in \mathfrak{k}$ のとき、$A=\phi (X)$ は歪エルミートなので $\mathrm{tr}(A^2)=-\mathrm{tr}(A{A}^{\ast })=-\sum |a_{st}{|}^2$。よって $B(X,X)<0$（$X\ne 0$）。
• $X\in \mathfrak{p}$ のとき、$A=\phi (X)$ はエルミートなので $\mathrm{tr}(A^2)=\mathrm{tr}(A{A}^{\ast })>0$（$X\ne 0$）。よって $B(X,X)>0$。
• $X\in \mathfrak{k},Y\in \mathfrak{p}$ のとき、$A=\phi (X),C=\phi (Y)$ とおくと $\overline{\mathrm{tr}(AC)}=\mathrm{tr}((AC{)}^{\ast })=\mathrm{tr}(C^{\ast }{A}^{\ast })=-\mathrm{tr}(CA)=-\mathrm{tr}(AC)$ なので $\mathrm{tr}(AC)$ は純虚数。一方これは実数だから $0$ で、$B(X,Y)=0$。

したがって $B$ は $\mathfrak{p}$ 上で正定値、$\mathfrak{k}$ 上で負定値で、$\mathfrak{k}\perp \mathfrak{p}$ である。シルベスターの慣性法則より $p=\dim \mathfrak{p},q=\dim \mathfrak{k}$。

次元の計算.
- $\mathfrak{k}$: 四元数の歪エルミート行列。対角成分は ${\bar{x}}_{ss}=-x_{ss}$ より純虚四元数で各 $3$ 次元、計 $3\cdot 3=9$。非対角成分は $x_{st}(s<t)$ が自由で $x_{ts}=-{\bar{x}}_{st}$ と決まり、$3$ 組 $\times 4=12$。対角成分の実部は $0$ なので条件 $\mathrm{Re}\mathrm{tr}X=0$ は自動的にみたされる。よって $\dim \mathfrak{k}=21$（これは $\mathfrak{sp}(3)$ である）。
- $\mathfrak{p}$: 四元数のエルミート行列で $\mathrm{Re}\mathrm{tr}=0$。対角成分は実数 $3$ 個で、和が $0$ という条件から $2$ 次元。非対角成分は $12$ 次元。よって $\dim \mathfrak{p}=14$。

確かに $21+14=35=\dim \mathfrak{g}$ である。以上より $(p,q)=(14,21)$。

$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{H})$ の実次元は $4\cdot 9-1=35$。$\mathfrak{g}$ は単純（$\mathfrak{sl}(6,\mathbb{C})$ の実形 ${\mathfrak{su}}^{\ast }(6)$）で、$\mathfrak{g}$ は $\ast$ 共役転置で閉じているので Cartan 対合 $\theta (X)=-X^{\ast }$ をもつ。Cartan 分解 $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$ は
- $\mathfrak{k}=\{X\mid X^{\ast }=-X\}=\mathfrak{sp}(3)$（次元 $n(2n+1)=3\cdot 7=21$、反エルミート行列は対角の虚四元数 $3\times 3$ 個と上三角の四元数 $3\times 4$ 個で $9+12=21$）、
- $\mathfrak{p}=\{X\mid X^{\ast }=X,\mathrm{Re}\mathrm{tr}X=0\}$（エルミート行列で実トレース 0。対角の実数 3 個から 1 個引いて $2$、上三角の四元数 $3\times 4=12$ で合計 $14$）。
Cartan 対合に関して $B_{\theta }(X,Y)=-B(X,\theta Y)$ が正定値なので、$B$ は $\mathfrak{k}$ 上で負定値、$\mathfrak{p}$ 上で正定値、かつ $\mathfrak{k}\perp \mathfrak{p}$。よって正の慣性指数 $p=\dim \mathfrak{p}=14$、負の慣性指数 $q=\dim \mathfrak{k}=21$。
検算: $14+21=35=\dim \mathfrak{g}$（$B$ は非退化）。${\mathfrak{su}}^{\ast }(6)$ の最大コンパクト部分環は $\mathfrak{sp}(3)$ で、非コンパクト次元は $35-21=14$ と整合。