キリング形式の符号

実半単純リー環をカルタン分解 $g = k \oplus p$ （反対称部分と対称部分）に分け、 $B$ が $k$ で負定値・ $p$ で正定値であることから符号 $(dim p, dim k)$ を求められる。複素リー環を実リー環とみたときのキリング形式 $B_{R} = 2 Re B_{C}$ の符号も求められる

前提

キリング形式の計算（大学院数学リー群・リー環）
古典群の次元（大学院数学リー群・リー環）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（99 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
リー環の括弧積と随伴表現（大学院数学リー群・リー環）
キリング形式の計算（大学院数学リー群・リー環）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
部分積分（数学III 積分法）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
行列リー群のリー環（大学院数学リー群・リー環）
古典群の次元（大学院数学リー群・リー環）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

説明

実半単純リー環 $g$ のキリング形式 $B$ は実対称双線形形式なので、2 次形式としての符号（正の固有値の個数, 負の固有値の個数）が決まります。この技能では、グラム行列を全部計算しなくても、 $g$ を反対称（反エルミート）部分 $k$ と対称（エルミート）部分 $p$ に分けて次元を数えるだけで、符号が $(dim p, dim k)$ と求まることを学びます。また、複素半単純リー環を実リー環とみたときのキリング形式 $B_{R} = 2 Re B_{C}$ の符号が $(dim_{C} g, dim_{C} g)$ になることも扱います。

なぜそうしてよいのか

$g \subset gl (n, C)$ を、 $X \in g \Rightarrow X^{*} \in g$ （ $X^{*} = X ˉ^{T}$ 。実行列なら転置）を満たす実半単純リー環とします。 $sl (n, R)$ （ $n \geq 2$ ）、 $so (p, q)$ （ $p + q \geq 3$ ）、 $su (p, q)$ （ $p + q \geq 2$ ）、 $sp (2 n, R)$ （ $n \geq 1$ ）などはこの形で、括弧内の範囲で半単純です（それ以外、例えば $so (2)$ や $so (1, 1)$ は 1 次元で可換になり、キリング形式は $0$ です）。 $X = \frac{X - X ^{*}}{2} + \frac{X + X ^{*}}{2}$ と分けると $g = k \oplus p$ 、 $k = {X \in g ∣ X^{*} = - X}$ 、 $p = {X \in g ∣ X^{*} = X}$ となります（カルタン分解）。 $g$ に実内積 $⟨ A, C ⟩ = Re tr (A^{*} C)$ を入れると、 $⟨[X, A], C ⟩ = ⟨ A, [X^{*}, C]⟩$ が $tr$ の巡回性から確かめられ、 $ad X$ の（この内積に関する）転置は $ad (X^{*})$ です。よって $X \in p$ なら $ad X$ は対称、 $X \in k$ なら $ad X$ は反対称です。

ここから 3 つのことがわかります。(1) $X \in p$ なら、正規直交基底で $ad X$ は対称行列 $S$ で表され $B (X, X) = tr S^{2} = \sum s_{ij}^{2} \geq 0$ 。(2) $X \in k$ なら反対称行列 $A$ で $B (X, X) = tr A^{2} = - \sum a_{ij}^{2} \leq 0$ 。(3) $X \in k, Y \in p$ なら $tr (A S) = tr ((A S)^{T}) = tr (S \cdot (- A)) = - tr (A S)$ より $B (X, Y) = 0$ 。さらに半単純リー環では中心 ${X ∣ ad X = 0}$ が $0$ である（ここでは認めて使う）ので、 $X \neq = 0$ なら $ad X \neq = 0$ で、(1)(2) の不等号は等号になりません。つまり $B$ は $p$ で正定値、 $k$ で負定値で、両者は $B$ について直交します。 $p$ と $k$ の基底を並べるとグラム行列は正定値ブロックと負定値ブロックの直和になるので、2 次形式の符号は $(dim p, dim k)$ です。半単純性が欠けると、例えば可換な $so (2)$ では $ad X = 0$ となって (2) の等号が成り立ってしまい、この結論は使えません。

複素半単純リー環 $g$ （複素次元 $m$ 、キリング形式 $B_{C}$ が非退化）を実リー環とみるとき、 $C$ 上線形な写像 $T$ の実トレースは $2 Re tr_{C} T$ です（固有値 $λ$ が実 2 次元では $λ, λ ˉ$ の 2 つとして現れるため）。よって $B_{R} = 2 Re B_{C}$ 。 $B_{C} (i X, i X) = - B_{C} (X, X)$ なので、 $B_{R}$ が正定値になる部分空間 $V$ があれば $iV$ では負定値です。したがって正の個数 $\leq$ 負の個数で、同様に逆も成り立ち、両者は等しくなります。 $B_{R}$ は非退化（ $Re B_{C} (X, Y) = Re B_{C} (X, iY) = 0$ が全 $Y$ で成り立てば $Im B_{C} (X, Y) = - Re B_{C} (X, iY) = 0$ より $B_{C} (X, Y) = 0$ ）なので、合計は $2 m$ 、符号は $(m, m)$ です。

手順

$g$ が半単純である（パラメータが半単純の範囲にある）ことと、 $X \mapsto X^{*}$ （実行列なら転置）で閉じていることを確認する。複素リー環を実とみる場合は手順 5 へ進む
$k = {X \in g ∣ X^{*} = - X}$ （反エルミート部分）と $p = {X \in g ∣ X^{*} = X}$ （エルミート部分）に分ける
古典群の次元の数え方で $dim k$ を求め、 $dim p = dim g - dim k$ とする
符号を $(正の個数, 負の個数) = (dim p, dim k)$ と答える
複素半単純リー環を実リー環とみたときは $B_{R} = 2 Re B_{C}$ の符号を $(dim_{C} g, dim_{C} g)$ と答える

例題

実リー環 $sl (3, R)$ のキリング形式 $B$ の符号 $(p, q)$ （ $p$ は正の固有値の個数、 $q$ は負の固有値の個数）を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $sl (3, R)$ は $n = 3 \geq 2$ なので半単純。 $X \in sl (3, R)$ なら $tr X^{T} = tr X = 0$ なので、 $sl (3, R)$ は転置で閉じている。

【手順 2】 $k$ はトレース 0 の 3 次実交代行列全体（交代行列は自動的にトレース 0）、 $p$ はトレース 0 の 3 次実対称行列全体。

【手順 3】 $dim k = dim so (3) = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ 。 $dim sl (3, R) = 9 - 1 = 8$ なので $dim p = 8 - 3 = 5$ （3 次対称行列 6 次元からトレース条件 1 つを除いた値と一致）。

確認として、 $sl (3)$ では $B (X, Y) = 6 tr (X Y)$ なので、 $X \in p$ で $B (X, X) = 6 tr (X^{T} X) = 6 \sum x_{ij}^{2} > 0$ 、 $X \in k$ で $B (X, X) = - 6 tr (X^{T} X) < 0$ （ $X \neq = 0$ ）となり、上の一般論と合う。

【手順 4】符号は $(dim p, dim k) = (5, 3)$ 。

答え: $(5, 3)$

よくある誤り

符号の順序を取り違えて $(dim k, dim p)$ としてしまう誤り。 $B$ は反対称部分 $k$ で負定値、対称部分 $p$ で正定値なので、正しくは $(dim p, dim k)$ 。例えば $sl (3, R)$ は $(3, 5)$ ではなく $(5, 3)$
コンパクトなリー環 $su (n)$ （ $n \geq 2$ ）や $so (n)$ （ $n \geq 3$ ）のキリング形式を正定値としてしまう誤り。これらは半単純で、すべての元が反エルミート（反対称）なので $p = 0$ となり負定値で、正しくは $su (n)$ の符号は $(0, n^{2} - 1)$ 、 $so (n)$ の符号は $(0, \frac{n ( n - 1 )}{2})$ 。例えば $su (2)$ では $B (X, X) = 4 tr (X^{2}) = - 4 tr (X^{*} X) < 0$ （ $X \neq = 0$ ）。なお $so (2)$ は可換でキリング形式は $0$ （負定値ではない）、 $so (1)$ , $su (1)$ は $0$ 次元なので、この範囲から外れる
$so (p, q)$ で $k$ を $so (p + q)$ 全体と考えて $dim k = \frac{( p + q ) ( p + q - 1 )}{2}$ としてしまう誤り。正しくは $k = so (p) \oplus so (q)$ （対角ブロック）で $dim k = \frac{p ( p - 1 )}{2} + \frac{q ( q - 1 )}{2}$ 、 $dim p = pq$ であり、半単純となる $p + q \geq 3$ のとき符号は $(pq, \frac{p ( p - 1 )}{2} + \frac{q ( q - 1 )}{2})$ 。例えば $so (2, 1)$ の符号は $(2, 1)$ 。 $p + q = 2$ の $so (1, 1)$ は可換でキリング形式が $0$ なので、 $(1, 0)$ とはならない
複素リー環を実とみたときに $B_{C}$ の値をそのまま使ったり、実次元 $2 m$ をすべて正と数えたりしてしまう誤り。正しくは $B_{R} = 2 Re B_{C}$ で $B_{R} (i X, i X) = - B_{R} (X, X)$ となるので、 $sl (2, C)$ を実 6 次元とみた符号は $(3, 3)$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実リー環
$g = sl (3, R) = {X \in gl (3, R) ∣ tr X = 0}$
（括弧積は $[X, Y] = X Y - Y X$ ）のキリング形式を $B (X, Y) = tr (ad X \circ ad Y)$ とする。 $B$ は $8$ 次元実ベクトル空間 $g$ 上の非退化な対称双線形形式である。 $B$ の符号 $(p, q)$ （ $p$ は正の固有値の個数、 $q$ は負の固有値の個数。 $B$ の基底に関するグラム行列で数える）を求め、組 $(p, q)$ の形で答えよ。

キリング形式の符号

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題