リー群・リー環の問題

方針: カルタン分解 $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$（反対称行列の部分と対称行列の部分）に分け、$B$ が $\mathfrak{k}$ 上で負定値、$\mathfrak{p}$ 上で正定値、かつ $\mathfrak{k}$ と $\mathfrak{p}$ が $B$ に関して直交することから、符号を $(\dim \mathfrak{p},\dim \mathfrak{k})$ として求める。

1. キリング形式の具体形

$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{R})$ のキリング形式は $B(X,Y)=2n\mathrm{tr}(XY)$ なので、$n=3$ では
$$B(X,Y)=6\mathrm{tr}(XY).$$

2. カルタン分解

$X\in \mathfrak{g}$ を $X=\frac{X-X^{\mathsf{T}}}{2}+\frac{X+X^{\mathsf{T}}}{2}$ と分けると、
$$\mathfrak{k}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^{\mathsf{T}}=-X\}=\mathfrak{so}(3),\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^{\mathsf{T}}=X\}$$
となり、$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$。（反対称行列のトレースは自動的に $0$、対称部分のトレースは $\mathrm{tr}X=0$ と一致する。）

3. 各部分での符号

• $X\in \mathfrak{k}$ のとき、$\mathrm{tr}(X^2)=-\mathrm{tr}(X^{\mathsf{T}}X)=-{\sum }_{i,j}{x}_{ij}^2$ なので、$X\ne O$ なら $B(X,X)<0$。$B$ は $\mathfrak{k}$ 上で負定値。
• $X\in \mathfrak{p}$ のとき、$\mathrm{tr}(X^2)=\mathrm{tr}(X^{\mathsf{T}}X)={\sum }_{i,j}{x}_{ij}^2$ なので、$X\ne O$ なら $B(X,X)>0$。$B$ は $\mathfrak{p}$ 上で正定値。
• $K\in \mathfrak{k}$, $P\in \mathfrak{p}$ のとき、$\mathrm{tr}(KP)=\mathrm{tr}((KP{)}^{\mathsf{T}})=\mathrm{tr}(P^{\mathsf{T}}{K}^{\mathsf{T}})=-\mathrm{tr}(PK)=-\mathrm{tr}(KP)$ より $\mathrm{tr}(KP)=0$。よって $B(\mathfrak{k},\mathfrak{p})=0$。

したがって $\mathfrak{k}$ の基底と $\mathfrak{p}$ の基底を並べた基底に関して、$B$ のグラム行列は「$\mathfrak{k}$ 上の負定値ブロック」と「$\mathfrak{p}$ 上の正定値ブロック」の直和になり、符号は $(\dim \mathfrak{p},\dim \mathfrak{k})$ である。

4. 次元を数える

• $\dim \mathfrak{k}=\dim \mathfrak{so}(3)=\frac{3\cdot 2}{2}=3$。
• $3$ 次実対称行列全体は $6$ 次元で、トレースが $0$ という条件 $1$ つを課すので $\dim \mathfrak{p}=6-1=5$。

（確認: $3+5=8=\dim \mathfrak{sl}(3,\mathbb{R})$。）

よって符号は $(p,q)=(5,3)$。

$\mathfrak{sl}(n)$ のキリング形式は $B(X,Y)=2n\mathrm{tr}(XY)$。$n=3$ なので $B(X,Y)=6\mathrm{tr}(XY)$。

$\mathfrak{g}$ を対称行列の部分空間 $\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^T=X\}$（トレース $0$ の対称行列、次元 $6-1=5$）と交代行列の部分空間 $\mathfrak{k}=\mathfrak{so}(3)=\{X^T=-X\}$（次元 $3$）に直和分解する（カルタン分解）。
- $X\in \mathfrak{p}$, $X\ne 0$: $\mathrm{tr}(X^2)={\sum }_{i,j}{X}_{ij}^2>0$ なので $B(X,X)>0$。$B$ は $\mathfrak{p}$ 上で正定値。
- $X\in \mathfrak{k}$, $X\ne 0$: $\mathrm{tr}(X^2)=-{\sum }_{i,j}{X}_{ij}^2<0$ なので $B(X,X)<0$。$\mathfrak{k}$ 上で負定値。
- $X\in \mathfrak{p}$, $Y\in \mathfrak{k}$: $\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}((XY{)}^T)=\mathrm{tr}(Y^T{X}^T)=-\mathrm{tr}(YX)=-\mathrm{tr}(XY)$ より $0$。$\mathfrak{p}\perp \mathfrak{k}$。

したがって $B$ は $\mathfrak{p}$ 上正定値（次元 $5$）、$\mathfrak{k}$ 上負定値（次元 $3$）の直交和で、符号は $(p,q)=(5,3)$。
検算: 対角行列 $H=\mathrm{diag}(1,-1,0)$ で $B(H,H)=6\cdot 2=12>0$、$X=E_{12}-E_{21}$ で $\mathrm{tr}(X^2)=-2$ より $B(X,X)=-12<0$。また $p+q=8$ で次元と一致。