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リー群・リー環の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学リー群・リー環

実ベクトル空間 $g$ の基底を $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ とし、括弧積を
$[e_{1}, e_{2}] = e_{2}, [e_{1}, e_{3}] = - e_{3}, [e_{2}, e_{3}] = 0$
と、交代性 $[X, Y] = - [Y, X]$ および双線形性によって定める。このとき $g$ は $3$ 次元の実リー環になる。 $g$ のキリング形式を
$B (X, Y) = tr (ad X \circ ad Y) (X, Y \in g)$
（ $ad X : Z \mapsto [X, Z]$ ）とし、その根基を
$rad B = {X \in g ∣ すべての Y \in g に対して B (X, Y) = 0}$
とする。 $rad B$ の（実ベクトル空間としての）次元を求めよ。

この問題で使うもの

キリング形式の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（41 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

基底 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ について $ad e_{i}$ の表現行列を書き、キリング形式のグラム行列 $(tr (ad e_{i} ad e_{j}))$ を計算しよう。

ヒント 2

$rad B$ はグラム行列 $G$ の核に対応するので、 $dim rad B = 3 - rank G$ である。 $[e_{2}, e_{1}] = - e_{2}$ , $[e_{3}, e_{1}] = e_{3}$ に注意して $ad e_{2}, ad e_{3}$ を書く。

ヒント 3

$ad e_{1} = diag (0, 1, - 1)$ なので $B (e_{1}, e_{1}) = 2$ 。 $ad e_{2}, ad e_{3}$ はどちらも $e_{1}$ だけを $e_{2}$ や $e_{3}$ の方向に送る行列で、それらを含む積のトレースを調べる。

答えと解説

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2

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解説を読む

方針: 基底 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ について $ad e_{i}$ の表現行列を書き、 $B (e_{i}, e_{j}) = tr (ad e_{i} ad e_{j})$ を並べたグラム行列 $G$ を作る。 $rad B$ は $G$ の核に対応するので、 $dim rad B = 3 - rank G$ である。

1. $ad e_{i}$ の表現行列（列ベクトルは基底 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ に関する成分）

交代性から $[e_{2}, e_{1}] = - e_{2}$ , $[e_{3}, e_{1}] = e_{3}$ , また $[e_{i}, e_{i}] = 0$ である。

- $ad e_{1}$ : $e_{1} \mapsto 0$ , $e_{2} \mapsto e_{2}$ , $e_{3} \mapsto - e_{3}$ より
$A_{1} = ad e_{1} = 000010 00 - 1 .$
- $ad e_{2}$ : $e_{1} \mapsto - e_{2}$ , $e_{2} \mapsto 0$ , $e_{3} \mapsto 0$ より
$A_{2} = ad e_{2} = 0 - 1 0 000000 .$
- $ad e_{3}$ : $e_{1} \mapsto e_{3}$ , $e_{2} \mapsto 0$ , $e_{3} \mapsto 0$ より
$A_{3} = ad e_{3} = 001000000 .$

2. グラム行列の成分

$A_{1}^{2} = diag (0, 1, 1)$ なので $B (e_{1}, e_{1}) = tr A_{1}^{2} = 2$ 。
$A_{1} A_{2} = 0 - 1 0 000000$ で対角成分はすべて $0$ なので $B (e_{1}, e_{2}) = 0$ 。
$A_{1} A_{3} = 00 - 1 000000$ なので $B (e_{1}, e_{3}) = 0$ 。
$A_{2}^{2} = O$ なので $B (e_{2}, e_{2}) = 0$ 。同様に $A_{3}^{2} = O$ なので $B (e_{3}, e_{3}) = 0$ 。
$A_{2} A_{3} = O$ なので $B (e_{2}, e_{3}) = 0$ 。

$B$ は対称（ $tr (P Q) = tr (QP)$ ）なので、残りの成分も決まり、
$G = (B (e_{i}, e_{j})) = 200000000 .$

3. 根基の次元

$X = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3}$ が $rad B$ に属する条件は、すべての $j$ で $B (X, e_{j}) = 0$ 、すなわち $G^{t} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ である。これは $2 x_{1} = 0$ だけなので、 $rad B = {x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3}}$ であり、次元定理からも $dim rad B = 3 - rank G = 3 - 1 = 2$ 。

よって答えは $2$ 。

別解

ad の行列を基底 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ で求める。
- $ad e_{1}$ : $e_{1} \mapsto 0, e_{2} \mapsto e_{2}, e_{3} \mapsto - e_{3}$ なので $diag (0, 1, - 1)$ 。
- $ad e_{2}$ : $e_{1} \mapsto [e_{2}, e_{1}] = - e_{2}, e_{2} \mapsto 0, e_{3} \mapsto 0$ 。
- $ad e_{3}$ : $e_{1} \mapsto [e_{3}, e_{1}] = e_{3}, e_{2} \mapsto 0, e_{3} \mapsto 0$ 。

キリング形式の成分:
- $B (e_{1}, e_{1}) = 0 + 1 + 1 = 2$ 。
- $ad e_{1} \circ ad e_{2}$ は $e_{1} \mapsto - e_{2}$ 、他は $0$ なので対角成分はすべて $0$ 、トレース $0$ 。よって $B (e_{1}, e_{2}) = 0$ 。
- $ad e_{1} \circ ad e_{3}$ は $e_{1} \mapsto - e_{3}$ 、他は $0$ なので $B (e_{1}, e_{3}) = 0$ 。
- $ad e_{2} \circ ad e_{2}$ : $e_{1} \mapsto - e_{2} \mapsto 0$ なので $0$ 。 $B (e_{2}, e_{2}) = 0$ 。
- $ad e_{2} \circ ad e_{3}$ : $e_{1} \mapsto e_{3} \mapsto 0$ なので $B (e_{2}, e_{3}) = 0$ 。
- $ad e_{3} \circ ad e_{3}$ : $e_{1} \mapsto e_{3} \mapsto 0$ なので $B (e_{3}, e_{3}) = 0$ 。

したがって Gram 行列は $diag (2, 0, 0)$ で階数 $1$ 。根基は $span {e_{2}, e_{3}}$ で、次元は $3 - 1 = 2$ 。
検算: $X = a e_{1} + b e_{2} + c e_{3}$ とすると $B (X, Y) = 2 a y_{1}$ なので、すべての $Y$ で $0$ となる条件は $a = 0$ 。確かに $b, c$ が自由で次元 $2$ 。

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