リー群・リー環の問題

複素リー環 $\mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})$（$3$ 次複素正方行列全体、括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）のキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y),\mathrm{ad}X(Z)=[X,Z]$$
で定める（右辺の $\mathrm{tr}$ は $9$ 次元複素ベクトル空間 $\mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})$ 上の線形写像のトレース）。
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$$
に対して、$B(A,C)$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$n$ 次の実上三角行列全体のなす実リー環 $${\mathfrak{b}}_n=\{X\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\mid i>j\text{ のとき }{X}_{ij}=0\}$$ を考える（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）。${\mathfrak{b}}_n$ のキリング形式を $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$（$\mathrm{ad}X$ は ${\mathfrak{b}}_n$ 上の線形写像 $Z\mapsto [X,Z]$）で定める。$B$ の根基 $$\mathrm{rad}B=\{X\in {\mathfrak{b}}_n\mid \text{すべての }Y\in {\mathfrak{b}}_n\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

複素リー環 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})\mid \mathrm{tr}X=0\}$（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を、スカラーを実数に制限して $6$ 次元の実リー環とみなしたものを $\mathfrak{g}$ とする。$\mathfrak{g}$ の（実リー環としての）キリング形式
$$B(X,Y)={\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
を考える。ここで ${\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}$ は $\mathfrak{g}$ を $6$ 次元実ベクトル空間とみたときの線形写像のトレースである。実対称双線形形式 $B$ の符号数、すなわち $B$ を表す実対称行列の正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$ を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=-e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
（$\mathrm{ad}X:Z\mapsto [X,Z]$）とし、その根基を
$$\mathrm{rad}B=\{X\in \mathfrak{g}\mid \text{すべての }Y\in \mathfrak{g}\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$
とする。$\mathrm{rad}B$ の（実ベクトル空間としての）次元を求めよ。

$\mathbb{H}$ を四元数体とし、四元数 $q=a+bi+cj+dk$（$a,b,c,d\in \mathbb{R}$）の実部を $\mathrm{Re}q=a$、共役を $\bar{q}=a-bi-cj-dk$ と書く。$3$ 次の四元数正方行列全体を $M_3(\mathbb{H})$ とし、$X=(x_{st})\in M_3(\mathbb{H})$ に対して $X^{\ast }=({\bar{x}}_{ts})$（共役転置）とおく。実リー環
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{H})=\{X\in M_3(\mathbb{H})\mid \mathrm{Re}(x_{11}+x_{22}+x_{33})=0\}$$
（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を考える。$\mathfrak{g}$ の（実リー環としての）キリング形式 $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$ は $\mathfrak{g}$ 上の実対称双線形形式である。$B$ の正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$ を、組 $(p,q)$ としてこの順に求めよ。