リー群・リー環の問題

複素キリング形式の計算. $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の基底
$$H=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),F=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$
について $[H,E]=2E$, $[H,F]=-2F$, $[E,F]=H$。基底 $(E,H,F)$ に関する表現行列は
$$\mathrm{ad}H=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right),\mathrm{ad}E=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\mathrm{ad}F=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right).$$
これより複素キリング形式 $B_{\mathbb{C}}(X,Y)={\mathrm{tr}}_{\mathbb{C}}(\mathrm{ad}X\mathrm{ad}Y)$ は
$$B_{\mathbb{C}}(H,H)=8,B_{\mathbb{C}}(E,F)=4,B_{\mathbb{C}}(H,E)=B_{\mathbb{C}}(H,F)=B_{\mathbb{C}}(E,E)=B_{\mathbb{C}}(F,F)=0$$
となる。$X=aH+bE+cF$ に対して $B_{\mathbb{C}}(X,X)=8a^2+8bc$。一方 $X^2=(a^2+bc)I$ なので $\mathrm{tr}(X^2)=2(a^2+bc)$、よって $B_{\mathbb{C}}(X,X)=4\mathrm{tr}(X^2)$。

実キリング形式との関係. $X,Y\in \mathfrak{g}$ に対し $\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y$ は複素線形写像である。$m$ 次元複素ベクトル空間上の複素線形写像 $T$ を $2m$ 次元実ベクトル空間上の写像とみると、複素基底 $v_1,\dots ,v_m$ から実基底 $v_1,i{v}_1,\dots ,v_m,i{v}_m$ をとれば、$T$ の複素表現行列の $(k,k)$ 成分 $a+bi$ は実表現行列の対角に $a,a$ として現れるので
$${\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}T=2\mathrm{Re}{\mathrm{tr}}_{\mathbb{C}}T.$$
したがって
$$B(X,X)=2\mathrm{Re}{B}_{\mathbb{C}}(X,X)=8\mathrm{Re}\mathrm{tr}(X^2).$$

符号数. $X=A+iC$（$A,C\in \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$）と一意に書けて、$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus i\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$（実ベクトル空間の直和）である。
$$X^2=A^2-C^2+i(AC+CA)$$
で $A,C$ は実行列なので
$$\mathrm{Re}\mathrm{tr}(X^2)=\mathrm{tr}(A^2)-\mathrm{tr}(C^2).$$
$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$ とすると $\mathrm{tr}(A^2)=2a^2+2bc=2a^2+\frac{(b+c{)}^2}{2}-\frac{(b-c{)}^2}{2}$ なので、$\mathrm{tr}(A^2)$ は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 上の符号数 $(2,1)$ の二次形式である。よって $-\mathrm{tr}(C^2)$ の符号数は $(1,2)$。二つの部分は直交しているので、$B$ の符号数は
$$(2+1,1+2)=(3,3).$$
（$p+q=6$ なので $B$ は非退化であり、$\mathfrak{g}$ が半単純であることとも整合する。）

複素リー環 $\mathfrak{s}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の実リー環としてのキリング形式は、複素キリング形式 $B_{\mathbb{C}}$ を用いて $B(X,Y)=2\mathrm{Re}{B}_{\mathbb{C}}(X,Y)$ と書ける（複素線形写像 $T$ の実トレースは $2\mathrm{Re}{\mathrm{tr}}_{\mathbb{C}}T$）。\n\n$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ では $B_{\mathbb{C}}(X,Y)=4\mathrm{tr}(XY)$。複素基底 $H,E,F$ に対し $B_{\mathbb{C}}(H,H)=8$, $B_{\mathbb{C}}(E,F)=4$, 他は 0。ここで複素 3 次元空間上の非退化複素対称双線形形式 $Q$ は、適当な複素基底 $u_1,u_2,u_3$ で $Q=\sum z_k^2$ と標準形にできる。\n\n実 6 次元空間での実形式 $\mathrm{Re}Q$ を $z_k=x_k+i{y}_k$ で書くと $\mathrm{Re}\sum z_k^2=\sum (x_k^2-y_k^2)$。よって正が 3 個、負が 3 個で符号数 $(3,3)$。\n\n検算: $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\cong \mathfrak{so}(3,1)$ の実形式として、コンパクト実形式 $\mathfrak{su}(2)$ 上で $B$ は負定値（3 個の負）、$i\mathfrak{su}(2)$ 上で正定値（3 個の正）となる。$\mathfrak{g}=\mathfrak{su}(2)\oplus i\mathfrak{su}(2)$ はカルタン分解であり、$B$ は $\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)$ 上で負定値、$\mathfrak{p}=i\mathfrak{su}(2)$ 上で正定値。$(3,3)$ で一致する。