リー群・リー環の問題

方針. $V$ 上のトレース形式 $B_V(X,Y)={\mathrm{tr}}_V(\rho (X)\rho (Y))$ とキリング形式 $B$ の比を求め、${\Omega }_V$ のトレースを $2$ 通りに計算する。

1. キリング形式の計算. $H=\mathrm{diag}(1,-1,0)\in \mathfrak{g}$ とする。$\mathrm{ad}H$ は対角行列全体（カルタン部分環, $2$ 次元）上で $0$、行列単位 $E_{ij}$（$i\ne j$）上で固有値 $h_i-h_j$ をもつ（$h=(1,-1,0)$）。その値は $\pm 2,\pm 1,\pm 1$ なので
$$B(H,H)=2(2^2+1^2+1^2)=12.$$
一般に $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ では $B(X,Y)=2n\mathrm{tr}(XY)$ であり、実際 $\mathrm{tr}(H^2)=2$ より $12=6\cdot 2$ と一致する。

2. $B_V$ と $B$ の比. $B_V$ は $\mathfrak{g}$ 上の対称な不変双線形形式である（$\mathrm{tr}(\rho ([Z,X])\rho (Y))+\mathrm{tr}(\rho (X)\rho ([Z,Y]))=0$）。$\mathfrak{g}$ は単純なので、不変対称双線形形式は $B$ の定数倍であり、$B_V=kB$ と書ける。$k$ を $H$ で求める。$V$ の基底 $e_i{e}_j$（$i\le j$）は $\rho (H)$ の固有ベクトルで、固有値は $h_i+h_j$ である：
$$e_1^2:2,e_2^2:-2,e_3^2:0,e_1{e}_2:0,e_1{e}_3:1,e_2{e}_3:-1.$$
よって $B_V(H,H)=4+4+0+0+1+1=10$ であり、$k=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ となる。

3. トレースの比較. ${\Omega }_V=c{\mathrm{id}}_V$ の両辺のトレースをとると、
$$6c={\mathrm{tr}}_V{\Omega }_V=\sum _{i=1}^8{B}_V(X_i,X^i)=k\sum _{i=1}^{8}B(X_i,X^i)=k\cdot 8.$$
したがって
$$c=\frac{8k}{6}=\frac{8}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{9}.$$

検算. 最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1$ の公式 $c=(\lambda ,\lambda +2\rho {)}_B$ でも確かめられる。トレース形式 $\mathrm{tr}(XY)$ から誘導される内積では $({\omega }_1,{\omega }_1)=\frac{2}{3}$、$({\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{3}$ なので、$(\lambda ,\lambda +2\rho )=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}$ となる。キリング形式は $6\mathrm{tr}$ なので、これを $6$ で割って $\frac{10}{9}$ を得る。これは上の結果と一致する。

答え: $c=\frac{10}{9}$

$\mathfrak{sl}(n)$ のキリング形式は $B(X,Y)=2n\mathrm{tr}(XY)$ である。$n=3$ なら $B=6\mathrm{tr}(XY)$ となる。

まず、トレース形式 $\mathrm{tr}(XY)$ に関するカシミール作用素を考える。最高ウェイトが分割 $\lambda$ の既約表現では、これは
$$\sum _i{\lambda }_i({\lambda }_i-2i+1)+n|\lambda |-\frac{|\lambda {|}^2}{n}$$
で与えられる。

確認として標準表現 $\lambda =(1)$ を見ると、値は $0+3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}=\frac{n^2-1}{n}$ となり、既知の値と一致する。

$V={\mathrm{Sym}}^2{\mathbb{C}}^3$ は既約で $\lambda =(2)$ に対応する。このとき
$$2(2-1)+3\cdot 2-\frac{4}{3}=2+6-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}.$$

キリング形式は $\mathrm{tr}(XY)$ の 6 倍なので、双対基底は $1/6$ 倍になる。よって $c=\frac{20/3}{6}=\frac{10}{9}$ である。

検算として、随伴表現 $\lambda =(2,1,0)-(1,1,1)$ に相当する $\lambda =(2,1)$ を同じ式で計算する。$2\cdot 1+1\cdot (1-3)=0$、$n|\lambda |=9$、$-\frac{9}{3}=-3$ より、合計は $6$ である。キリング形式では $6/6=1$ となり、随伴表現でのカシミールが $1$ であるという既知の事実と一致する。