リー群・リー環

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$e_1={}^t(1,0,\dots ,0)\in {\mathbb{R}}^n$ を第 $1$ 標準基底ベクトルとする。$GL(n,\mathbb{R})$ の閉部分群
$$G=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid g{e}_1=e_1\}$$
を考え、そのリー環を
$$\mathfrak{g}=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }{e}^{tX}\in G\}$$
で定める。$\mathfrak{g}$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

$\mathfrak{g}$ を基底 $e_1,e_2,e_3$ をもつ $3$ 次元の実リー環とし、括弧積が
$$[e_1,e_2]=2e_2,[e_1,e_3]=-e_3,[e_2,e_3]=0$$
で与えられているとする（括弧積は双線形かつ交代的で、ヤコビ恒等式をみたす）。$X=e_1+e_2$ とおき、線形写像 $\mathrm{ad}X:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g},Z\mapsto [X,Z]$ を考える。$\mathrm{ad}X$ のトレース $\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X)$ と核の次元 $\dim \ker (\mathrm{ad}X)$ を、この順に組で求めよ。

$7$ 次の実対角行列
$$A=\mathrm{diag}\left(1,-1,1,-1,1,1,3\right)$$
を考える。$A$ の中心化環
$$\mathfrak{z}(A)=\{X\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{R})\mid XA=AX\}$$
の実ベクトル空間としての次元を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3$ とする。$C_3$ 型のルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 3\}\cup \{\pm 2e_i\mid 1\le i\le 3\}$$
のルート $\alpha =e_1+e_3$ に関する鏡映を
$$s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$$
とする。ベクトル $x=2e_1-e_2+4e_3$ に対して、$s_{\alpha }(x)$ を成分で表したもの $(a,b,c)$（$s_{\alpha }(x)=a{e}_1+b{e}_2+c{e}_3$）を求めよ。

複素特殊線形群
$$SL(4,\mathbb{C})=\{g\in GL(4,\mathbb{C})\mid \det g=1\}$$
を実リー群とみなす。$SL(4,\mathbb{C})$ の実リー群としての次元（実次元）を求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=-e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
（$\mathrm{ad}X:Z\mapsto [X,Z]$）とし、その根基を
$$\mathrm{rad}B=\{X\in \mathfrak{g}\mid \text{すべての }Y\in \mathfrak{g}\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$
とする。$\mathrm{rad}B$ の（実ベクトル空間としての）次元を求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のリー環としての自己同型全体
$$\mathrm{Aut}\mathfrak{g}=\{\phi \in GL(\mathfrak{g})\mid \text{すべての }u,v\in \mathfrak{g}\text{ に対して }\phi ([u,v])=[\phi (u),\phi (v)]\}$$
は $GL(\mathfrak{g})$ の閉部分群であり、リー群になる。$\mathrm{Aut}\mathfrak{g}$ のリー群としての次元を求めよ。

$4$ 次の複素対角行列
$$A=\mathrm{diag}(1,1,2,3)$$
を考える。複素リー群 $G=GL(4,\mathbb{C})$ は $4$ 次複素正方行列全体 $M_4(\mathbb{C})$ に共役 $g\cdot X=gX{g}^{-1}$ で作用する。$A$ の軌道（共役類）
$$G\cdot A=\{gA{g}^{-1}\mid g\in GL(4,\mathbb{C})\}$$
の複素多様体としての次元（複素次元）を求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3,e_4$ とする。$A_3$ 型のルート系
$$\Phi =\{e_i-e_j\mid 1\le i,j\le 4,i\ne j\}$$
のワイル群 $W$ を、鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$（$\alpha \in \Phi$）全体で生成される $GL({\mathbb{R}}^4)$ の部分群とする。ベクトル
$$v=(2,2,1,0)=2e_1+2e_2+e_3$$
の $W$-軌道 $Wv=\{wv\mid w\in W\}$ の元の個数を求めよ。

実リー環
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R})=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{R})\mid \mathrm{tr}X=0\}$$
（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）のキリング形式を $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$ とする。$B$ は $8$ 次元実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ 上の非退化な対称双線形形式である。$B$ の符号 $(p,q)$（$p$ は正の固有値の個数、$q$ は負の固有値の個数。$B$ の基底に関するグラム行列で数える）を求め、組 $(p,q)$ の形で答えよ。

$7$ 次の実対角行列 $$A=\mathrm{diag}(-1,-1,2,2,2,2,5)$$ を考える。実特殊直交群 $$SO(7)=\{g\in GL(7,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}g=I_7,\det g=1\}$$（$I_7$ は $7$ 次単位行列）における $A$ の中心化群 $$Z=\{g\in SO(7)\mid gA=Ag\}$$ は $SO(7)$ の閉部分群であり、実リー群である。$Z$ の実リー群としての次元 ${\dim }_{\mathbb{R}}Z$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$2n$ 次の複素正方行列
$$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right)$$
を考える（$I_n$ は $n$ 次単位行列、$O$ は $n$ 次零行列）。$g^{\ast }={\overline{g}}^{\mathsf{T}}$ を随伴行列として、
$$G=\{g\in GL(2n,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J,g^{\ast }g=I_{2n}\}$$
とおく。$G$ は $GL(2n,\mathbb{C})$ の閉部分群であり、実リー群である。$G$ の実リー群としての次元を $n$ の式で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$n$ 次の実上三角行列全体のなす実リー環 $${\mathfrak{b}}_n=\{X\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\mid i>j\text{ のとき }{X}_{ij}=0\}$$ を考える（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）。${\mathfrak{b}}_n$ のキリング形式を $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$（$\mathrm{ad}X$ は ${\mathfrak{b}}_n$ 上の線形写像 $Z\mapsto [X,Z]$）で定める。$B$ の根基 $$\mathrm{rad}B=\{X\in {\mathfrak{b}}_n\mid \text{すべての }Y\in {\mathfrak{b}}_n\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

特殊ユニタリ群 $SU(6)$ はそのリー環 $\mathfrak{su}(6)=\{X\in \mathfrak{gl}(6,\mathbb{C})\mid X^{\ast }=-X,\mathrm{tr}X=0\}$（$X^{\ast }$ は随伴行列）に随伴作用 $\mathrm{Ad}(g)X=gX{g}^{-1}$ で作用する。
$$X_0=\mathrm{diag}(3i,3i,3i,-2i,-2i,-5i)\in \mathfrak{su}(6)$$
とし、$X_0$ の等方部分群
$$H=\{g\in SU(6)\mid g{X}_0{g}^{-1}=X_0\}$$
を考える。$H$ の実リー群としての次元を求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積 $(,)$ を入れ、$e_1,e_2,e_3,e_4$ を標準基底とする。ルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 4\}(\text{複号任意})$$
を考え、$W$ を鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha (\alpha \in \Phi )$ で生成される $GL(4,\mathbb{R})$ の部分群（$\Phi$ のワイル群）とする。ベクトル $v=(2,1,1,0)$ の $W$-軌道
$$Wv=\{w(v)\mid w\in W\}$$
の元の個数を求めよ。

$7$ 次のユニタリ群 $U(7)=\{g\in GL(7,\mathbb{C})\mid g^{\ast }g=I_7\}$（$g^{\ast }$ は $g$ の共役転置、$I_7$ は $7$ 次単位行列）は、$7$ 次エルミート行列全体のなす実ベクトル空間 ${\mathcal{H}}_7=\{A\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{C})\mid A^{\ast }=A\}$ に $g\cdot A=gA{g}^{\ast }$ により作用する。
$$A_0=\mathrm{diag}(1,1,2,2,2,5,5)$$
とするとき、$A_0$ の軌道 $\mathcal{O}=\{g{A}_0{g}^{\ast }\mid g\in U(7)\}$ の実多様体としての次元を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$e_1,\dots ,e_n$ を ${\mathbb{R}}^n$ の標準基底とする。$N\in M_n(\mathbb{R})$ を
$$N{e}_k=e_{k+1}(1\le k\le n-1),N{e}_n=0$$
で定まる行列（$n$ 次の冪零ジョルダン細胞）とする。$N$ の中心化群
$$Z(N)=\{g\in G{L}_n(\mathbb{R})\mid gN=Ng\}$$
は $G{L}_n(\mathbb{R})$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$$\mathfrak{z}=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in Z(N)\}$$
で定める。このとき $\mathfrak{z}$ は $M_n(\mathbb{R})$ の線形部分空間であり、${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{z}=n$ であることを証明せよ。

ただし、$\exp (tX)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{t^k{X}^k}{k!}$ が絶対収束すること、$\exp (tX)$ が正則であること、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)$ であることは用いてよい。

$n$ を正の整数とする。$X\in M_n(\mathbb{C})$ に対し $X^{\ast }={\overline{X}}^T$（随伴行列）とし、ユニタリ群を
$$U(n)=\{g\in G{L}_n(\mathbb{C})\mid g^{\ast }g=I\}$$
とする。$U(n)$ は $G{L}_n(\mathbb{C})$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$$\mathfrak{u}(n)=\{X\in M_n(\mathbb{C})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in U(n)\}$$
で定める。このとき $\mathfrak{u}(n)$ は $M_n(\mathbb{C})$ の実線形部分空間であり、実ベクトル空間としての次元が ${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{u}(n)=n^2$ であることを証明せよ。

ただし、実数 $t$ に対して $\exp (tX{)}^{\ast }=\exp (t{X}^{\ast })$、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)=\exp (tX)X$、$\exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。

複素リー環 $\mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})$（$3$ 次複素正方行列全体、括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）のキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y),\mathrm{ad}X(Z)=[X,Z]$$
で定める（右辺の $\mathrm{tr}$ は $9$ 次元複素ベクトル空間 $\mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})$ 上の線形写像のトレース）。
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$$
に対して、$B(A,C)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3$ とする。$B_3$ 型のルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\mid 1\le i\le 3\}\cup \{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 3\}$$
の単純ルートを ${\alpha }_1=e_1-e_2,{\alpha }_2=e_2-e_3,{\alpha }_3=e_3$ とする。${\alpha }_i$ に関する鏡映 $s_i(x)=x-\frac{2(x,{\alpha }_i)}{({\alpha }_i,{\alpha }_i)}{\alpha }_i$ $(i=1,2,3)$ が生成するワイル群を $W$ とし、$w\in W$ の長さ $\ell (w)$ を、$w$ を $s_1,s_2,s_3$ の積として表すときに必要な因子の個数の最小値と定める（単位元の長さは $0$）。

$\ell (w)=4$ をみたす $w\in W$ の個数を求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_2\\ -I_2& O\end{array}\right)$（$I_2$ は $2$ 次単位行列、$O$ は $2$ 次零行列）とし、実リー環
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{R})\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=O\}$$
（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を考える。$\mathfrak{g}$ のキリング形式 $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$ は $\mathfrak{g}$ 上の実対称双線形形式である。$B$ を対角化したときの正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$（重複を含めて数える）を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

$e_1,\dots ,e_9$ を ${\mathbb{C}}^9$ の標準基底とし、部分空間
$$V_1={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2\},V_2={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\}$$
を考える（$V_1\subset V_2\subset {\mathbb{C}}^9$）。特殊線形群 $SL(9,\mathbb{C})=\{g\in GL(9,\mathbb{C})\mid \det g=1\}$ の部分群
$$P=\{g\in SL(9,\mathbb{C})\mid g{V}_1=V_1,g{V}_2=V_2\}$$
は $GL(9,\mathbb{C})$ の閉部分群であり、実リー群とみなせる。$P$ の実リー群としての次元（すなわちリー環 $\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }\exp (tX)\in P\}$ の実ベクトル空間としての次元）を求めよ。

$6$ 次の実正方行列 $N$ を、サイズ $3,2,1$ の冪零ジョルダン細胞の直和
$$N=J_3\oplus J_2\oplus J_1,J_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),J_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),J_1=\left(\begin{array}{c}0\end{array}\right)$$
とする（$N$ はこれらを対角ブロックに並べたブロック対角行列）。$\mathrm{SL}(6,\mathbb{R})$ の部分群
$$G=\{g\in \mathrm{SL}(6,\mathbb{R})\mid gN=Ng\}$$
は閉部分群なのでリー群である。$G$ の（実多様体としての）次元を求めよ。

$I_{2,3}=\mathrm{diag}(1,1,-1,-1,-1)$ とし、実リー環
$$\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(5,\mathbb{R})\mid X^{\mathsf{T}}{I}_{2,3}+I_{2,3}X=0\}$$
を考える（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）。$\mathfrak{g}$ のキリング形式 $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$ は $\mathfrak{g}$ 上の非退化な実対称双線形形式である。その符号（正の固有値の個数と負の固有値の個数）を、組（正の個数, 負の個数）の順に求めよ。

複素リー環 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})\mid \mathrm{tr}X=0\}$（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を、スカラーを実数に制限して $6$ 次元の実リー環とみなしたものを $\mathfrak{g}$ とする。$\mathfrak{g}$ の（実リー環としての）キリング形式
$$B(X,Y)={\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
を考える。ここで ${\mathrm{tr}}_{\mathbb{R}}$ は $\mathfrak{g}$ を $6$ 次元実ベクトル空間とみたときの線形写像のトレースである。実対称双線形形式 $B$ の符号数、すなわち $B$ を表す実対称行列の正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$ を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

$p,q,k$ を $p+q+k\ge 1$ をみたす $0$ 以上の整数とし、$n=p+q+k$ とおく。$n$ 次の実対称行列 $$S=\left(\begin{array}{ccc}{I}_p& O& O\\ O& -I_q& O\\ O& O& O_k\end{array}\right)$$ を考える（$I_m$ は $m$ 次単位行列、$O_k$ は $k$ 次零行列、$O$ は適切なサイズの零行列。サイズ $0$ のブロックは省く）。$$G=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Sg=S\}$$ は $GL(n,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがって実リー群である。$G$ のリー群としての次元を $p,q,k$ の式で求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3,e_4$ とする。$F_4$ 型のルート系 $$\Phi =\{\pm e_i(1\le i\le 4)\}\cup \{\pm e_i\pm e_j(1\le i<j\le 4)\}\cup \left\{\frac{1}{2}(\pm e_1\pm e_2\pm e_3\pm e_4)\right\}$$ （複号は任意）を考え、$W$ を $\Phi$ のワイル群（鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$ $(\alpha \in \Phi )$ で生成される $GL(4,\mathbb{R})$ の部分群）とする。$v=e_1+e_2$ に対し、固定部分群 $$W_v=\{w\in W\mid wv=v\}$$ の位数を求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})\oplus {\mathbb{R}}^2$（$6$ 次元）に、括弧積 $$[(X,v),(Y,w)]=(XY-YX,Xw-Yv)(X,Y\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}),v,w\in {\mathbb{R}}^2)$$ を入れた実リー環（$2$ 次元アフィン変換群のリー環）を考える。ここで ${\mathbb{R}}^2$ の元は列ベクトルとし、$Xw$ は行列とベクトルの積である。$\mathfrak{g}$ のキリング形式 $B(Z_1,Z_2)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}{Z}_1\circ \mathrm{ad}{Z}_2)$ は $\mathfrak{g}$ 上の実対称双線形形式である。$B$ の正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$（$B$ を表す対称行列の正の固有値の個数と負の固有値の個数）を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

複素リー環 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})\mid \mathrm{tr}X=0\}$（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を考え、そのキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
とする。$V={\mathrm{Sym}}^2({\mathbb{C}}^3)$ を ${\mathbb{C}}^3$ の $2$ 次対称テンソル全体（$6$ 次元）とし、$\mathfrak{g}$ の表現 $\rho :\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$ を
$$\rho (X)(vw)=(Xv)w+v(Xw)(v,w\in {\mathbb{C}}^3)$$
で定める。$\mathfrak{g}$ の基底 $X_1,\dots ,X_8$ と、$B$ に関する双対基底 $X^1,\dots ,X^8$（$B(X_i,X^j)={\delta }_{ij}$）をとり、カシミール作用素を
$${\Omega }_V=\sum _{i=1}^8\rho (X_i)\rho (X^i)\in \mathrm{End}(V)$$
と定める。${\Omega }_V$ は基底の取り方によらず、$V$ 上で恒等写像のスカラー倍 $c{\mathrm{id}}_V$ として作用することが知られている。このスカラー $c$ を求めよ。

$8$ 次の実正方行列 $$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_4\\ -I_4& O\end{array}\right)$$ （$I_4$ は $4$ 次単位行列、$O$ は $4$ 次零行列）を用いて、実シンプレクティック群を $$Sp(8,\mathbb{R})=\{g\in GL(8,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J\}$$ と定める。${\mathbb{R}}^8$ の標準基底を $e_1,\dots ,e_8$ とし、部分空間 $V_1=\mathbb{R}{e}_1$、$V_2=\mathbb{R}{e}_1+\mathbb{R}{e}_2$ をとる。$$P=\{g\in Sp(8,\mathbb{R})\mid g{V}_1=V_1,g{V}_2=V_2\}$$ は $Sp(8,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがってリー群である。$P$ の（実リー群としての）次元を求めよ。

$n$ を $3$ 以上の整数とする。$e_1,e_2$ を ${\mathbb{C}}^2$ の標準基底とし、$n$ 個のテンソル積 $V=({\mathbb{C}}^2{)}^{\otimes n}$ を考える。複素リー群 $G=SL(2,\mathbb{C}{)}^n$（$SL(2,\mathbb{C})$ の $n$ 個の直積）を $V$ に
$$(g_1,\dots ,g_n)\cdot (v_1\otimes \cdots \otimes v_n)=g_1{v}_1\otimes \cdots \otimes g_n{v}_n$$
を線形に拡張して作用させる。ベクトル
$$w_n=\sum _{j=1}^n{e}_1\otimes \cdots \otimes e_1\otimes \underset{j\text{ 番目}}{e_2}\otimes e_1\otimes \cdots \otimes e_1\in V$$
（$j$ 番目の因子だけが $e_2$ で、残りがすべて $e_1$ であるテンソルの和）の等方部分群
$$G_{w_n}=\{g\in G\mid g\cdot w_n=w_n\}$$
の複素次元を $n$ の式で求めよ。

${\mathbb{R}}^6$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,\dots ,e_6$ とする。$B_6$ 型のルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\mid 1\le i\le 6\}\cup \{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 6\}(\text{複号任意})$$
と、ベクトル
$$\lambda =\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},0\right)\in {\mathbb{R}}^6$$
を考える。
$${\Phi }_{\lambda }=\{\alpha \in \Phi \mid (\lambda ,\alpha )\in \mathbb{Z}\}$$
とおき、$W_{\lambda }$ を鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$（$\alpha \in {\Phi }_{\lambda }$）全体で生成される直交群 $O(6)$ の部分群とする。$W_{\lambda }$ の位数 $|W_{\lambda }|$ を求めよ。

$D=\mathrm{diag}\left(2,\frac{1}{2},2,-1,1\right)$ を $5$ 次の実対角行列とする。$11$ 次の実正方行列 $A$ を
$$A=\left(\begin{array}{ccc}O& I_5& 0\\ D& O& 0\\ 0^{\mathsf{T}}& 0^{\mathsf{T}}& 1\end{array}\right)$$
で定める。ここで $I_5$ は $5$ 次単位行列、$O$ は $5$ 次零行列、$0$ は $5$ 次元の零列ベクトルである。$A$ は対称でも交代でもない正則行列である。
$$G=\{g\in GL(11,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Ag=A\}$$
は $GL(11,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、実リー群になる。そのリー環
$$\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(11,\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in G\}$$
の実ベクトル空間としての次元 ${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}$ を求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_4\\ -I_4& O\end{array}\right)$（$I_4$ は $4$ 次単位行列、$O$ は $4$ 次零行列）とし、複素シンプレクティック群とそのリー環を
$$Sp(8,\mathbb{C})=\{g\in GL(8,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J\},\mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(8,\mathbb{C})\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=O\}$$
で定める。$X\in \mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})$ を冪零行列で、そのジョルダン標準形がサイズ $4,2,1,1$ の冪零ジョルダン細胞の直和であるものとする（このような $X$ は存在する）。$X$ の随伴作用に関する中心化群
$$Z(X)=\{g\in Sp(8,\mathbb{C})\mid gX{g}^{-1}=X\}$$
の複素リー群としての次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}Z(X)$ を求めよ。

$6$ 次の複素正方行列 $N$ を、サイズ $3,2,1$ のジョルダン細胞からなる冪零行列
$$N=J_3(0)\oplus J_2(0)\oplus J_1(0)$$
とする（$J_k(0)$ は固有値 $0$ の $k$ 次ジョルダン細胞）。複素リー群 $GL(6,\mathbb{C})$ の共役作用による $N$ の軌道
$${\mathcal{O}}_N=\{gN{g}^{-1}\mid g\in GL(6,\mathbb{C})\}$$
は $\mathfrak{gl}(6,\mathbb{C})$ の複素部分多様体である。その複素次元を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$2n+1$ 次元の実ベクトル空間 ${\mathfrak{h}}_n$ の基底を $X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_n,Z$ とし、括弧積を
$$[X_i,Y_j]={\delta }_{ij}Z(1\le i,j\le n)$$
および、これらから交代性と双線形性で定まるもの以外の基底どうしの括弧積はすべて $0$（すなわち $[X_i,X_j]=[Y_i,Y_j]=[X_i,Z]=[Y_i,Z]=0$）と定めて、実リー環（ハイゼンベルク・リー環）とする。${\mathfrak{h}}_n$ のリー環としての自己同型全体のなす群
$$\mathrm{Aut}({\mathfrak{h}}_n)=\{\phi \in GL({\mathfrak{h}}_n)\mid \phi ([u,v])=[\phi (u),\phi (v)](u,v\in {\mathfrak{h}}_n)\}$$
は $GL({\mathfrak{h}}_n)$ の閉部分群であり、実リー群になる。このリー群の次元を $n$ の式で求めよ。

$\Omega$ を $7$ 次の実交代行列
$$\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\oplus O_3$$
とする（$O_3$ は $3$ 次の零行列、$\oplus$ はブロック対角和）。一般線形群 $GL(7,\mathbb{R})$ は $7$ 次の実交代行列全体の空間に $g\cdot A=gA{g}^{\mathsf{T}}$ で作用する。この作用に関する $\Omega$ の等方部分群
$$G_{\Omega }=\{g\in GL(7,\mathbb{R})\mid g\Omega g^{\mathsf{T}}=\Omega \}$$
は $GL(7,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがってリー群である。$G_{\Omega }$ の（実多様体としての）次元を求めよ。

$10$ 次の複素正方行列 $$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_5\\ -I_5& O\end{array}\right)$$ を用いて（$I_5$ は $5$ 次単位行列、$O$ は $5$ 次零行列）、複素シンプレクティック群を $$Sp(10,\mathbb{C})=\{M\in GL(10,\mathbb{C})\mid M^{\mathsf{T}}JM=J\}$$ で定める。$5$ 次対角行列 $$D=\mathrm{diag}(2,2,1,-1,-1),E=\mathrm{diag}(0,0,0,-1,-1)$$ に対して $$g=\left(\begin{array}{cc}D& E\\ O& D^{-1}\end{array}\right)$$ とおくと $g\in Sp(10,\mathbb{C})$ である。$g$ の中心化群 $$Z(g)=\{M\in Sp(10,\mathbb{C})\mid Mg=gM\}$$ の複素リー群としての次元を求めよ。

$\mathfrak{n}$ を、対角成分が $0$ の $4$ 次実上三角行列全体のなす $6$ 次元実リー環とする（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）。$\mathfrak{n}$ のリー環としての自己同型全体 $$\mathrm{Aut}(\mathfrak{n})=\{\phi \in GL(\mathfrak{n})\mid \text{すべての }X,Y\in \mathfrak{n}\text{ について }\phi ([X,Y])=[\phi (X),\phi (Y)]\}$$ は $GL(\mathfrak{n})\cong GL(6,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがって実リー群である。$\mathrm{Aut}(\mathfrak{n})$ のリー群としての次元を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$V_n$ を $x,y$ に関する複素係数の $n$ 次斉次多項式全体のなす $n+1$ 次元複素ベクトル空間とし、$X=(x_{ij})\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})$ に対して $V_n$ 上の線形変換 ${\rho }_n(X)$ を、微分作用素
$${\rho }_n(X)=(x_{11}x+x_{21}y)\frac{\partial }{\partial x}+(x_{12}x+x_{22}y)\frac{\partial }{\partial y}$$
で定める（${\rho }_n$ は $\mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})$ の表現 ${\mathrm{Sym}}^n({\mathbb{C}}^2)$ である）。複素ベクトル空間 $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})\oplus V_n$ に括弧積
$$[(X,f),(Y,g)]=(XY-YX,{\rho }_n(X)g-{\rho }_n(Y)f)$$
を入れて得られる複素リー環を考え、そのキリング形式を $B(u,v)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}u\mathrm{ad}v)$ とする。このとき、ある複素数 $a,b$ が存在して、すべての $X,Y\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{C})$ に対して
$$B((X,0),(Y,0))=a\mathrm{tr}(XY)+b\mathrm{tr}X\mathrm{tr}Y$$
が成り立ち、このような $a,b$ はただ 1 組に定まる。組 $(a,b)$ を $n$ の式で求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ とし、$9$ 次の実交代行列 $K$ をブロック対角行列
$$K=J\oplus J\oplus 2J\oplus O_3=\left(\begin{array}{cccc}J& & & \\ & J& & \\ & & 2J& \\ & & & O_3\end{array}\right)$$
で定める（$O_3$ は $3$ 次零行列、空白は零行列）。$A=I_9+K$（$I_9$ は $9$ 次単位行列）とおき、
$$G=\{g\in GL(9,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Ag=A\}$$
とする。$G$ は $GL(9,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがって実リー群である。

$G$ の（実多様体としての）次元を $d$、$G$ の連結成分の個数を $c$ とするとき、組 $(d,c)$ をこの順に求めよ。

$\mathbb{H}$ を四元数体とし、四元数 $q=a+bi+cj+dk$（$a,b,c,d\in \mathbb{R}$）の実部を $\mathrm{Re}q=a$、共役を $\bar{q}=a-bi-cj-dk$ と書く。$3$ 次の四元数正方行列全体を $M_3(\mathbb{H})$ とし、$X=(x_{st})\in M_3(\mathbb{H})$ に対して $X^{\ast }=({\bar{x}}_{ts})$（共役転置）とおく。実リー環
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{H})=\{X\in M_3(\mathbb{H})\mid \mathrm{Re}(x_{11}+x_{22}+x_{33})=0\}$$
（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を考える。$\mathfrak{g}$ の（実リー環としての）キリング形式 $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$ は $\mathfrak{g}$ 上の実対称双線形形式である。$B$ の正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$ を、組 $(p,q)$ としてこの順に求めよ。

$7$ 次の複素対称行列
$$S=\left(\begin{array}{ccc}O& I_3& 0\\ I_3& O& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
（$I_3$ は $3$ 次単位行列、$O$ は $3$ 次零行列、$0$ は零ベクトル）を用いて、複素特殊直交群とそのリー環を
$$G=\{g\in SL(7,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Sg=S\},\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{C})\mid X^{\mathsf{T}}S+SX=O\}$$
と定める。
$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),e=\left(\begin{array}{ccc}N& O& 0\\ O& -N^{\mathsf{T}}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
とおくと $e\in \mathfrak{g}$ である。$G$ の随伴作用に関する $e$ の等方部分群（中心化群）
$$Z_G(e)=\{g\in G\mid ge{g}^{-1}=e\}$$
の複素リー群としての次元を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$A\in M_n(\mathbb{R})$ を階数 $r$（$0\le r\le n$）の実対称行列とする。
$$G_A=\{g\in G{L}_n(\mathbb{R})\mid g^{T}Ag=A\}$$
とおくと、$G_A$ は $G{L}_n(\mathbb{R})$ の閉部分群である（これは用いてよい）。$G_A$ のリー環を
$${\mathfrak{g}}_A=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in G_A\}$$
で定める。このとき、${\mathfrak{g}}_A$ は $M_n(\mathbb{R})$ の線形部分空間であり、
$${\dim }_{\mathbb{R}}{\mathfrak{g}}_A=\frac{r(r-1)}{2}+n(n-r)$$
であることを証明せよ。

ただし、行列の指数関数について $\exp (tX{)}^T=\exp (t{X}^T)$、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)=\exp (tX)X$、$\exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。また、実対称行列に関するシルヴェスターの慣性法則（任意の実対称行列はある正則行列 $P$ により $P^T(\cdots )P$ の形で $\mathrm{diag}(I_p,-I_q,O)$ に変形できる）も用いてよい。

$n\ge 2$ を整数とし、$V={\mathbb{R}}^n$ に標準内積 $(\cdot ,\cdot )$ を入れ、$e_1,\dots ,e_n$ を標準基底とする。
$$\Phi =\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le n\}(\text{複号任意})$$
とおく（$D_n$ 型のルート系）。$\alpha \in \Phi$ に対し、鏡映 $s_{\alpha }\in GL(V)$ を
$$s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha (x\in V)$$
で定め、$W$ を $\{s_{\alpha }\mid \alpha \in \Phi \}$ で生成される $GL(V)$ の部分群とする。このとき
$$|W|=2^{n-1}n!$$
であることを証明せよ。

ただし、対称群 $S_n$ が互換で生成されること、$|S_n|=n!$ であること、および有限群の準同型定理（$|G|=|\mathrm{Ker}f|\cdot |\mathrm{Im}f|$）は用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$\mathfrak{g}={\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{C})$（$n$ 次複素正方行列全体に括弧積 $[X,Y]=XY-YX$ を入れたリー環）とする。$X\in \mathfrak{g}$ に対し $\mathrm{ad}X:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ を $\mathrm{ad}X(Z)=[X,Z]$ で定め、キリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
で定める（右辺の $\mathrm{tr}$ は $n^2$ 次元複素ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ 上の線形写像のトレース）。$B$ の根基
$$\mathrm{Rad}B=\{X\in \mathfrak{g}\mid \text{すべての }Y\in \mathfrak{g}\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$
が、スカラー行列全体 $\{c{I}_n\mid c\in \mathbb{C}\}$ に一致することを証明せよ。