リー群・リー環の問題

$H$ は $SU(6)$ の閉部分群なので実リー群であり、その次元はリー環
$$\mathfrak{h}=\{Y\in \mathfrak{su}(6)\mid [Y,X_0]=0\}$$
の次元に等しい（$\exp (tY)X_0\exp (-tY)=X_0$ を $t=0$ で微分すると $[Y,X_0]=0$。逆に $[Y,X_0]=0$ なら $\exp (tY)$ と $X_0$ は可換）。

$X_0=\mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_6)$ とおくと、$Y=(y_{jk})$ に対して
$$[Y,X_0{]}_{jk}=y_{jk}{x}_k-x_j{y}_{jk}=(x_k-x_j)y_{jk}.$$
したがって $[Y,X_0]=0$ は「$x_j\ne x_k$ ならば $y_{jk}=0$」と同値である。$X_0$ の対角成分は $3i$（$3$ 個）、$-2i$（$2$ 個）、$-5i$（$1$ 個）なので、$Y$ はサイズ $3,2,1$ のブロック対角行列
$$Y=\left(\begin{array}{ccc}{Y}_1& & \\ & Y_2& \\ & & Y_3\end{array}\right)$$
となる。

$Y\in \mathfrak{su}(6)$ の条件は、各 $Y_k$ が歪エルミート（$Y_k^{\ast }=-Y_k$）であることと $\mathrm{tr}{Y}_1+\mathrm{tr}{Y}_2+\mathrm{tr}{Y}_3=0$ である。$m$ 次の歪エルミート行列の空間 $\mathfrak{u}(m)$ の実次元は $m^2$（対角成分は純虚数で $m$ 個、上三角部分の複素数 $m(m-1)/2$ 個で実 $m(m-1)$ 次元）なので、ブロック対角な歪エルミート行列の空間は実 $9+4+1=14$ 次元。トレース条件は実 $1$ 次元の条件（歪エルミートなのでトレースは純虚数）で、しかも自明でない（例えば $Y_3=(i)$ だけのものはトレースが $0$ でない）ので、次元は $1$ 下がる。

よって
$$\dim H=\dim \mathfrak{h}=14-1=13.$$
（$H=S(U(3)\times U(2)\times U(1))$ であり、確かに $9+4+1-1=13$。）

$X_0$ の固有値は $3i$（重複度 3）、$-2i$（重複度 2）、$-5i$（重複度 1）で、互いに異なる。$g{X}_0{g}^{-1}=X_0$ となる $g$ は $X_0$ と可換、すなわち各固有空間を保つ。したがって $g$ はブロック対角で\n$$H=S(U(3)\times U(2)\times U(1)).$$\n次元は $U(3)$: $9$, $U(2)$: $4$, $U(1)$: $1$ の合計 $14$ から、$\det =1$ の条件 1 個を引いて $13$。\n\n検算: リー環で見ると、$X_0$ と可換な $\mathfrak{su}(6)$ の元は $\mathfrak{s}(\mathfrak{u}(3)\oplus \mathfrak{u}(2)\oplus \mathfrak{u}(1))$ で、次元は $9+4+1-1=13$。また $\dim SU(6)=35$、軌道（旗多様体 $SU(6)/H$）の次元は $35-13=22=2\cdot 11$ で、複素旗多様体 $Fl(3,2,1;6)$ の複素次元 $(36-9-4-1)/2=11$ と一致する。