リー群・リー環の問題

閉部分群 $G$ のリー環は
$$\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(2n,\mathbb{C})\mid e^{tX}\in G(\forall t\in \mathbb{R})\}$$
であり、$e^{tX}$ を 2 つの条件に代入して $t=0$ で微分すると
$$\mathfrak{g}=\{X\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=0,X^{\ast }+X=0\}$$
を得る（逆にこの 2 条件を満たす $X$ について $e^{tX}\in G$ となることも、$(e^{tX}{)}^{\mathsf{T}}=e^{t{X}^{\mathsf{T}}}=e^{-tJX{J}^{-1}}=J{e}^{-tX}{J}^{-1}$、$(e^{tX}{)}^{\ast }=e^{-tX}$ からわかる）。${\dim }_{\mathbb{R}}G={\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}$ なので、$\mathfrak{g}$ の実次元を数える。

$X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$（各ブロックは $n$ 次複素正方行列）とおく。

第 1 の条件 $X^{\mathsf{T}}J+JX=0$：
$$X^{\mathsf{T}}J=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathsf{T}}& C^{\mathsf{T}}\\ B^{\mathsf{T}}& D^{\mathsf{T}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}O& I\\ -I& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-C^{\mathsf{T}}& A^{\mathsf{T}}\\ -D^{\mathsf{T}}& B^{\mathsf{T}}\end{array}\right),JX=\left(\begin{array}{cc}C& D\\ -A& -B\end{array}\right)$$
より、$C=C^{\mathsf{T}}$、$B=B^{\mathsf{T}}$、$D=-A^{\mathsf{T}}$ である。

第 2 の条件 $X^{\ast }=-X$：
$$X^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\ast }& C^{\ast }\\ B^{\ast }& D^{\ast }\end{array}\right)$$
より $A^{\ast }=-A$、$C^{\ast }=-B$（すなわち $C=-B^{\ast }$）、$D^{\ast }=-D$。

まとめる：$D=-A^{\mathsf{T}}$ のとき $D^{\ast }=-\overline{A}=-(A^{\ast }{)}^{\mathsf{T}}$ なので、$A^{\ast }=-A$ なら $D^{\ast }=A^{\mathsf{T}}=-D$ が自動的に成り立つ。また $B$ が対称なら $C=-B^{\ast }=-\overline{B}$ も対称になる。したがって
$$\mathfrak{g}=\left\{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ -\overline{B}& -A^{\mathsf{T}}\end{array}\right)|A^{\ast }=-A,B^{\mathsf{T}}=B\right\}$$
であり、$A$ と $B$ は独立に選べる。

• $A$ は $n$ 次の歪エルミート行列：対角成分は純虚数で $n$ 個の実自由度、対角より上の成分は複素数で $2\cdot \frac{n(n-1)}{2}$ 個の実自由度。計 $n^2$。
• $B$ は $n$ 次の複素対称行列：$\frac{n(n+1)}{2}$ 個の複素成分で、実自由度 $n(n+1)$。

よって
$${\dim }_{\mathbb{R}}G=n^2+n(n+1)=2n^2+n=n(2n+1).$$

（確認：$n=1$ では $G=SU(2)$ となり次元 $3$ で一致する。）

$G=Sp(2n,\mathbb{C})\cap U(2n)$ である。これはコンパクト・シンプレクティック群 $Sp(n)$ である。リー環を直接計算する。$\mathfrak{g}=\{X\in M_{2n}(\mathbb{C})\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=0,X^{\ast }+X=0\}$。第1条件は $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ で複素次元 $n(2n+1)$、すなわち実次元 $2n(2n+1)$。第2条件 $X^{\ast }=-X$ は $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ 上の反線形な対合 $\sigma (X)=-X^{\ast }$ の固定点を取ることに相当する（$\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ は $\ast$ と $-$ で閉じている：$X^{\mathsf{T}}J+JX=0$ のとき ${\overline{X}}^{\mathsf{T}}J+J\overline{X}=0$ ($J$ は実)、また $X^{\ast }={\overline{X}}^{\mathsf{T}}$ について $J^{-1}=-J$ を用いて $X^{\ast }\in \mathfrak{sp}$ が確かめられる）。したがって $\mathfrak{g}$ は $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ のコンパクト実形であり、実次元は複素次元に等しく $n(2n+1)$。

別の確認: $X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ とすると $\mathfrak{sp}$ の条件は $D=-A^{\mathsf{T}}$, $B=B^{\mathsf{T}}$, $C=C^{\mathsf{T}}$。反エルミート条件より $A^{\ast }=-A$ ($n^2$ 個の実パラメータ)、$C=-B^{\ast }=-\overline{B}$ ($B$ は対称複素行列で実パラメータ $n(n+1)$ 個)。合計 $n^2+n(n+1)=2n^2+n$。

検算: $n=1$ のとき $G=SU(2)$ で次元 $3=2+1$。一致。