リー群・リー環の問題

1. $P$ のリー環. $P$ は $GL(8,\mathbb{R})$ の閉部分群なので、そのリー環は $\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{gl}(8,\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ で }\exp (tX)\in P\}$ である。$\exp (tX)\in Sp(8,\mathbb{R})$ がすべての $t$ で成り立つことは $X^{\mathsf{T}}J+JX=O$ と同値である。また部分空間 $V$ について、$XV\subset V$ ならば $\exp (tX)={\sum }_k{t}^k{X}^k/k!$ は $V$ を $V$ に移す（$V$ は有限次元なので閉）。逆に、すべての $t$ で $\exp (tX)V\subset V$ ならば、$v\in V$ に対し $t=0$ で微分して $Xv\in V$ を得る。よって
$$\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{sp}(8,\mathbb{R})\mid X{V}_1\subset V_1,X{V}_2\subset V_2\},\dim P=\dim \mathfrak{p}.$$

2. $\mathfrak{sp}(8,\mathbb{R})$ の形. $X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$（$A,B,C,D$ は $4$ 次）とおくと
$$X^{\mathsf{T}}J+JX=\left(\begin{array}{cc}C-C^{\mathsf{T}}& A^{\mathsf{T}}+D\\ -A-D^{\mathsf{T}}& B^{\mathsf{T}}-B\end{array}\right).$$
よって $X\in \mathfrak{sp}(8,\mathbb{R})$ は $D=-A^{\mathsf{T}}$、$B^{\mathsf{T}}=B$、$C^{\mathsf{T}}=C$ と同値である。$A$ は任意（$16$ 個）、$B,C$ は対称（各 $10$ 個）なので $\dim \mathfrak{sp}(8,\mathbb{R})=36$ であり、自由な成分は $A$ の全成分、$B$ と $C$ の上三角部分（対角を含む）で、これらは独立である。

3. 条件を書き下す. $X{e}_j$ は $X$ の第 $j$ 列 $\left(\begin{array}{c}A{e}_j\\ C{e}_j\end{array}\right)$ である。
- $X{V}_1\subset V_1$：$X{e}_1\in \mathbb{R}{e}_1$ より $a_{21}=a_{31}=a_{41}=0$ かつ $c_{11}=c_{21}=c_{31}=c_{41}=0$。
- $X{V}_2\subset V_2$：さらに $X{e}_2\in \mathbb{R}{e}_1+\mathbb{R}{e}_2$ より $a_{32}=a_{42}=0$ かつ $c_{12}=c_{22}=c_{32}=c_{42}=0$。

$A$ への条件は $a_{21},a_{31},a_{41},a_{32},a_{42}$ の $5$ 個で、いずれも独立である。$C$ は対称なので、条件は上三角部分の成分 $c_{11},c_{12},c_{13},c_{14},c_{22},c_{23},c_{24}$ が $0$ であることと同値であり、$7$ 個の独立な条件になる（$C$ で自由に残るのは $c_{33},c_{34},c_{44}$ の $3$ 個）。$B$ には条件がない。

4. 次元.
$$\dim \mathfrak{p}=(16-5)+10+(10-7)=11+10+3=24.$$
（検算：旗多様体 $Sp(8,\mathbb{R})/P$ は等方的 $2$ 次元部分空間のグラスマン多様体（次元 $2\cdot 2\cdot (4-2)+\frac{2\cdot 3}{2}=11$）上の ${\mathbb{P}}^1$ 束なので次元 $12$ であり、$36-12=24$ と一致する。）

よって $\dim P=24$。

$Sp(8,\mathbb{R})$ の次元は $n(2n+1)$（$n=4$）より $36$ である。$P$ は、同型でない向きに依らず、等方部分空間の旗 $V_1\subset V_2$ の固定部分群である。Witt の定理より $Sp(8,\mathbb{R})$ は、このような等方旗（次元 $1,2$）全体に推移的に作用する。したがって旗多様体 $Sp(8,\mathbb{R})/P$ の次元を求めればよい。

• $V_1$ の選び方：${\mathbb{R}}^8$ の直線全体で、${\mathbb{RP}}^7$ なので次元 $7$。
• $V_2$ の選び方：$V_1$ を固定したとき、$V_2/V_1$ は $V_1^{\perp }/V_1$（$6$ 次元のシンプレクティック空間）の直線である。任意の直線は等方的なので、${\mathbb{RP}}^5$ の次元 $5$。

よって旗多様体の次元は $7+5=12$ で、$\dim P=36-12=24$。

検算：$P$ のレヴィ部分群は $G{L}_1\times G{L}_1\times Sp(4,\mathbb{R})$ で、次元は $1+1+10=12$。冪零根基の次元は $(36-12)/2=12$。合計 $12+12=24$ となり一致する。