リー群・リー環の問題

対称部分と交代部分への分解. $g^{\mathsf{T}}Ag=A$ の両辺の転置をとると $g^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}g=A^{\mathsf{T}}$。$A^{\mathsf{T}}=I_9-K$ だから、両式の和と差をとって
$$g^{\mathsf{T}}g=I_9,g^{\mathsf{T}}Kg=K$$
を得る。逆にこの 2 式が成り立てば $g^{\mathsf{T}}Ag=A$ である。よって
$$G=\{g\in O(9)\mid g^{\mathsf{T}}Kg=K\}=\{g\in O(9)\mid gK=Kg\}$$
（$g^{\mathsf{T}}=g^{-1}$ を使った）、すなわち $G$ は $O(9)$ における $K$ の中心化群である。

固有空間への分解. $K^2=(-I_2)\oplus (-I_2)\oplus (-4I_2)\oplus O_3$ は対角行列で、${\mathbb{R}}^9$ は $K^2$ の固有空間の直交直和
$${\mathbb{R}}^9=V_1\oplus V_2\oplus V_0,V_1=\ker (K^2+I)(\dim 4),V_2=\ker (K^2+4I)(\dim 2),V_0=\ker K(\dim 3)$$
に分かれる。$g$ が $K$ と可換なら $K^2$ とも可換なので、$g$ は各 $V_1,V_2,V_0$ を保つ。したがって $G$ の元は $g=g_1\oplus g_2\oplus g_0$ とブロック対角になり、各 $g_i$ は直交行列で、$K$ の各ブロックへの制限と可換である。逆にこの形の行列は $G$ に属する。よって
$$G\cong G_1\times G_2\times G_0,$$
- $G_1=\{g_1\in O(4)\mid g_1(J\oplus J)=(J\oplus J)g_1\}$: $J\oplus J$ は ${\mathbb{R}}^4$ の複素構造で、これと可換な直交変換はユニタリ変換にほかならないので $G_1\cong U(2)$。
- $G_2=\{g_2\in O(2)\mid g_2(2J)=(2J)g_2\}$: $J$ と可換な $2$ 次実行列は $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ の形で、直交行列であることから $a^2+b^2=1$。よって $G_2=SO(2)\cong U(1)$。（行列式 $-1$ の鏡映は $J$ と反可換なので含まれない。）
- $G_0=O(3)$（$K$ の $V_0$ への制限は $0$ なので条件なし）。

次元. リー環で見ると $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{so}(9)\mid XK=KX\}\cong \mathfrak{u}(2)\oplus \mathfrak{u}(1)\oplus \mathfrak{so}(3)$ で、
$$d=\dim U(2)+\dim U(1)+\dim O(3)=4+1+3=8.$$
（$\dim \mathfrak{u}(m)=m^2$、$\dim \mathfrak{so}(m)=\frac{m(m-1)}{2}$。）

連結成分. $U(2)$ と $SO(2)$ は連結、$O(3)$ は行列式 $\pm 1$ に対応する $2$ つの連結成分をもつ。よって $c=1\cdot 1\cdot 2=2$。

よって $(d,c)=(8,2)$。

$g^{\mathsf{T}}Ag=A$ の両辺の転置をとると $g^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}g=A^{\mathsf{T}}$。$A=I+K$, $A^{\mathsf{T}}=I-K$ なので、辺々足し引きして $g^{\mathsf{T}}g=I$ かつ $g^{\mathsf{T}}Kg=K$ を得る（逆も成り立つ）。すなわち $G=\{g\in O(9)\mid g^{-1}Kg=K\}$ で、$G$ は $O(9)$ における $K$ の中心化群である。
$K^2=\mathrm{diag}(-1,-1,-1,-1,-4,-4,0,0,0)$ なので ${\mathbb{R}}^9$ は $K$ の作用で直交分解 ${\mathbb{R}}^9=V_1\oplus V_2\oplus V_0$（$V_1$: $K^2=-1$ の 4 次元、$V_2$: $K^2=-4$ の 2 次元、$V_0=\ker K$ の 3 次元）される。$g$ は $K$ と可換なのでこれらの空間を保つ。
- $V_1$ 上では $K=J\oplus J$ が複素構造 ${\mathbb{R}}^4\cong {\mathbb{C}}^2$ を与え、これと可換な直交変換は $U(2)$（次元 4、連結）。
- $V_2$ 上では $K=2J$ が複素構造 ${\mathbb{R}}^2\cong \mathbb{C}$ を定め、可換な直交変換は $U(1)$（次元 1、連結）。
- $V_0$ 上では $K=0$ なので制約なしで $O(3)$（次元 3、連結成分 2 個）。
ゆえに $G\cong U(2)\times U(1)\times O(3)$。次元 $d=4+1+3=8$、連結成分の個数 $c=1\cdot 1\cdot 2=2$。
検算: Lie 環は $\{X\in \mathfrak{so}(9)\mid [X,K]=0\}=\mathfrak{u}(2)\oplus \mathfrak{u}(1)\oplus \mathfrak{so}(3)$ で次元 $4+1+3=8$。$\det$ は $U(2),U(1)$ 上では $S^1$ に値をとり連結、$O(3)$ のみ $\det =\pm 1$ で 2 成分となり整合する。