リー群・リー環の問題

リー環に帰着する。 $G$ は $\mathrm{SL}(6,\mathbb{R})$ の閉部分群なので、そのリー環は
$$\mathfrak{g}=\{X\in M_6(\mathbb{R})\mid e^{tX}\in G(\forall t\in \mathbb{R})\}$$
である。$e^{tX}N=N{e}^{tX}$ が全ての $t$ で成り立つことは $XN=NX$ と同値（$t$ で微分して $t=0$ とおけば必要性、$X$ と $N$ が可換なら $e^{tX}$ と $N$ も可換なので十分性）であり、$\det e^{tX}=e^{t\mathrm{tr}X}=1$ は $\mathrm{tr}X=0$ と同値。よって
$$\mathfrak{g}=\{X\in M_6(\mathbb{R})\mid XN=NX,\mathrm{tr}X=0\},\dim G=\dim \mathfrak{g}.$$

中心化環 $\mathfrak{z}=\{X\mid XN=NX\}$ の次元。 ${\mathbb{R}}^6=V_3\oplus V_2\oplus V_1$ を各ジョルダン細胞に対応する分解（$\dim V_p=p$）とし、$X$ をブロック $X_{pq}:V_q\to V_p$（$p\times q$ 行列）に分ける。$XN=NX$ はブロックごとに
$$X_{pq}{J}_q=J_p{X}_{pq}$$
と同値である。この方程式の解空間の次元が $\min (p,q)$ であることを示す。$X_{pq}=(a_{ij})$ とすると、$J_p{X}_{pq}$ は $X_{pq}$ の行を $1$ つ上にずらしたもの（最下行は $0$）、$X_{pq}{J}_q$ は列を $1$ つ右にずらしたもの（最左列は $0$）である。成分で比べると
$$a_{i+1,j}=a_{i,j-1}(1\le i\le p,1\le j\le q;\text{ただし }{a}_{p+1,j}=0,a_{i,0}=0)$$
となる。$d=j-i$ を対角線の番号とすると（$1-p\le d\le q-1$）、この式は次の 3 種類に分かれる。
- $1\le i\le p-1,2\le j\le q$: 同じ対角線上のとなり合う $2$ 成分が等しい。よって各対角線上の成分は一定である
- $j=1,1\le i\le p-1$: $a_{i+1,1}=0$。これは対角線 $d=-1,-2,\dots ,1-p$（第 $1$ 列の $2$ 行目以下）が $0$ であることを言う
- $i=p,2\le j\le q$: $a_{p,j-1}=0$。これは対角線 $d=1-p,\dots ,q-1-p$（最下行の第 $q-1$ 列まで）が $0$ であることを言う

逆に、各対角線上で一定で、上の $2$ 種類の対角線が $0$ である行列はすべての式をみたす。よって解は、$\max (0,q-p)\le d\le q-1$ の対角線にそれぞれ $1$ つずつ自由な値を置いた行列（右上に寄せた上三角テプリッツ行列）で、解空間の次元は
$$(q-1)-\max (0,q-p)+1=\min (p,q)$$
である。例えば $p=3,q=2$ なら
$$X_{32}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\\ 0& 0\end{array}\right)$$
の $2$ 次元である。

よって
$$\dim \mathfrak{z}=\sum _{p,q\in \{3,2,1\}}\min (p,q)=(3+2+1)+(2+2+1)+(1+1+1)=14.$$

トレース条件。 トレース写像 $\mathrm{tr}:\mathfrak{z}\to \mathbb{R}$ は線形で、単位行列 $I\in \mathfrak{z}$ に対し $\mathrm{tr}I=6\ne 0$ なので全射。したがって核 $\mathfrak{g}$ の次元は
$$\dim \mathfrak{g}=14-1=13.$$

以上より $\dim G=13$。

$\mathrm{GL}(6,\mathbb{R})$ における $N$ の中心化代数 $\mathfrak{z}=\{X\in M_6(\mathbb{R})\mid XN=NX\}$ の次元は、ジョルダン型 $\lambda =(3,2,1)$ に対し ${\sum }_{i,j}\min ({\lambda }_i,{\lambda }_j)$ で与えられる。対角項は $3+2+1=6$、非対角項は $2\{\min (3,2)+\min (3,1)+\min (2,1)\}=2(2+1+1)=8$ なので $\dim \mathfrak{z}=14$（共役分割 $(3,2,1)$ の平方和 $9+4+1=14$ とも一致）。$\mathfrak{z}$ の可逆元の全体 $Z$ は $\mathfrak{z}$ の開集合なので $\dim Z=14$。$G=\{g\in Z\mid \det g=1\}$ である。$\det :Z\to {\mathbb{R}}^{\times }$ は準同型で、スカラー行列 $tI$ ($t>0$) に対し $\det (tI)=t^6$ となり全射（正の部分に）かつ沈め込みである（$\det$ の $I$ での微分は $X\mapsto \mathrm{tr}X$ で、$X=I\in \mathfrak{z}$ に対し $\mathrm{tr}I=6\ne 0$）。よって $G$ の次元は $14-1=13$。検算: リー環は $\{X\in \mathfrak{z}\mid \mathrm{tr}X=0\}$ で、$\mathrm{tr}$ は $\mathfrak{z}$ 上の非零線形形式なので次元 $13$。