リー群・リー環の問題

$6$ 次の実正方行列 $N$ を、サイズ $3,2,1$ の冪零ジョルダン細胞の直和
$$N=J_3\oplus J_2\oplus J_1,J_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),J_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),J_1=\left(\begin{array}{c}0\end{array}\right)$$
とする（$N$ はこれらを対角ブロックに並べたブロック対角行列）。$\mathrm{SL}(6,\mathbb{R})$ の部分群
$$G=\{g\in \mathrm{SL}(6,\mathbb{R})\mid gN=Ng\}$$
は閉部分群なのでリー群である。$G$ の（実多様体としての）次元を求めよ。

$\Omega$ を $7$ 次の実交代行列
$$\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\oplus O_3$$
とする（$O_3$ は $3$ 次の零行列、$\oplus$ はブロック対角和）。一般線形群 $GL(7,\mathbb{R})$ は $7$ 次の実交代行列全体の空間に $g\cdot A=gA{g}^{\mathsf{T}}$ で作用する。この作用に関する $\Omega$ の等方部分群
$$G_{\Omega }=\{g\in GL(7,\mathbb{R})\mid g\Omega g^{\mathsf{T}}=\Omega \}$$
は $GL(7,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがってリー群である。$G_{\Omega }$ の（実多様体としての）次元を求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ とし、$9$ 次の実交代行列 $K$ をブロック対角行列
$$K=J\oplus J\oplus 2J\oplus O_3=\left(\begin{array}{cccc}J& & & \\ & J& & \\ & & 2J& \\ & & & O_3\end{array}\right)$$
で定める（$O_3$ は $3$ 次零行列、空白は零行列）。$A=I_9+K$（$I_9$ は $9$ 次単位行列）とおき、
$$G=\{g\in GL(9,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Ag=A\}$$
とする。$G$ は $GL(9,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがって実リー群である。

$G$ の（実多様体としての）次元を $d$、$G$ の連結成分の個数を $c$ とするとき、組 $(d,c)$ をこの順に求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_4\\ -I_4& O\end{array}\right)$（$I_4$ は $4$ 次単位行列、$O$ は $4$ 次零行列）とし、複素シンプレクティック群とそのリー環を
$$Sp(8,\mathbb{C})=\{g\in GL(8,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J\},\mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(8,\mathbb{C})\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=O\}$$
で定める。$X\in \mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})$ を冪零行列で、そのジョルダン標準形がサイズ $4,2,1,1$ の冪零ジョルダン細胞の直和であるものとする（このような $X$ は存在する）。$X$ の随伴作用に関する中心化群
$$Z(X)=\{g\in Sp(8,\mathbb{C})\mid gX{g}^{-1}=X\}$$
の複素リー群としての次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}Z(X)$ を求めよ。

$7$ 次の複素対称行列
$$S=\left(\begin{array}{ccc}O& I_3& 0\\ I_3& O& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
（$I_3$ は $3$ 次単位行列、$O$ は $3$ 次零行列、$0$ は零ベクトル）を用いて、複素特殊直交群とそのリー環を
$$G=\{g\in SL(7,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Sg=S\},\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{C})\mid X^{\mathsf{T}}S+SX=O\}$$
と定める。
$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),e=\left(\begin{array}{ccc}N& O& 0\\ O& -N^{\mathsf{T}}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
とおくと $e\in \mathfrak{g}$ である。$G$ の随伴作用に関する $e$ の等方部分群（中心化群）
$$Z_G(e)=\{g\in G\mid ge{g}^{-1}=e\}$$
の複素リー群としての次元を求めよ。