リー群・リー環の問題

準備. $Z_G(e)$ は $G$ の閉部分群で、そのリー環は ${\mathfrak{z}}_{\mathfrak{g}}(e)=\{X\in \mathfrak{g}\mid [X,e]=0\}$ である。よって ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathfrak{z}}_{\mathfrak{g}}(e)$ を求めればよい。なお $\dim \mathfrak{g}=\dim \mathfrak{so}(7,\mathbb{C})=21$。

${\mathfrak{sl}}_2$ 三つ組. $H=\mathrm{diag}(2,0,-2)$、$F=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$ とおくと $[H,N]=2N,[H,F]=-2F,[N,F]=H$ である。転置して符号を変えた $-N^{\mathsf{T}},-H^{\mathsf{T}},-F^{\mathsf{T}}$ も同じ関係をみたす。
$$h=\mathrm{diag}(H,-H^{\mathsf{T}},0),f=\mathrm{diag}(F,-F^{\mathsf{T}},0)$$
とおくと、$A\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})$ に対し $\mathrm{diag}(A,-A^{\mathsf{T}},0)$ は
$$\left(\begin{array}{ccc}{A}^{\mathsf{T}}& O& 0\\ O& -A& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)S+S\left(\begin{array}{ccc}A& O& 0\\ O& -A^{\mathsf{T}}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}O& A^{\mathsf{T}}-A^{\mathsf{T}}& 0\\ -A+A& O& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=O$$
より $\mathfrak{g}$ に属する。したがって $e,h,f$ は $\mathfrak{g}$ の中で $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の三つ組をなす。

$V={\mathbb{C}}^7$ の分解. $V_k$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の $k+1$ 次元既約表現とする。$h$ の固有値は最初の $3$ 次元で $2,0,-2$、次の $3$ 次元で $-2,0,2$、最後の $1$ 次元で $0$ だから、${\mathfrak{sl}}_2$ 加群として
$$V\cong V_2\oplus V_2\oplus V_0=(V_2\otimes M)\oplus V_0(M={\mathbb{C}}^2,{\mathfrak{sl}}_2\text{ は }M\text{ に自明に作用})$$
である（$e$ のジョルダン型は $(3,3,1)$）。

$\mathfrak{g}$ の分解. $S$ が定める非退化対称双線形形式 $⟨u,v⟩=u^{\mathsf{T}}Sv$ により、$u\wedge v\mapsto (x\mapsto ⟨v,x⟩u-⟨u,x⟩v)$ は $\mathfrak{g}$ 加群の同型 ${\Lambda }^{2}V\cong \mathfrak{g}$（$\mathfrak{g}$ には随伴作用）を与える。とくに ${\mathfrak{sl}}_2$ 加群として $\mathfrak{g}\cong {\Lambda }^{2}V$ である。
$${\Lambda }^{2}V={\Lambda }^2(V_2\otimes M)\oplus (V_2\otimes M)\otimes V_0,$$
$${\Lambda }^2(V_2\otimes M)=({\Lambda }^2{V}_2\otimes S^{2}M)\oplus (S^2{V}_2\otimes {\Lambda }^{2}M).$$
ウェイトを数えると ${\Lambda }^2{V}_2$ のウェイトは $2,0,-2$ なので ${\Lambda }^2{V}_2\cong V_2$、$S^2{V}_2$ のウェイトは $4,2,0,0,-2,-4$ なので $S^2{V}_2\cong V_4\oplus V_0$。$\dim S^{2}M=3,\dim {\Lambda }^{2}M=1$ だから
$$\mathfrak{g}\cong V_2^{\oplus 3}\oplus (V_4\oplus V_0)\oplus V_2^{\oplus 2}.$$
次元を確かめると $9+5+1+6=21$ で正しい。

中心化環の次元. 有限次元表現は完全可約で、各既約表現 $V_k$ における $e$ の核は最高ウェイト空間の $1$ 次元である。よって $\dim \ker (\mathrm{ad}e)$ は $\mathfrak{g}$ を既約分解したときの成分の個数に等しく、
$$\dim {\mathfrak{z}}_{\mathfrak{g}}(e)=3+2+2=7.$$
（参考: 軌道 $G\cdot e$ の次元は $21-7=14$。）

したがって $\dim Z_G(e)=7$。

$S$ は非退化な複素対称双線形形式を与えるので $G=SO(7,\mathbb{C})$、$\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(7,\mathbb{C})$（次元 21）。${\mathbb{C}}^7=V\oplus V^{\ast }\oplus \mathbb{C}$（$V={\mathbb{C}}^3$）と見ると、$e$ は $V$ 上で $N$（大きさ 3 のジョルダン塊）、$V^{\ast }$ 上で $-N^{\mathsf{T}}$（これも大きさ 3 のジョルダン塊）、残りの 1 次元で $0$ として働く。よって $e$ のジョルダン型は $[3,3,1]$（偶数の部分がないので $\mathfrak{so}(7)$ の冪零元の分割として妥当）。
$\mathfrak{so}(n)$ の冪零元 $e$ の分割 $\lambda$ に対し、中心化群（ならびに中心化環）の次元は
$$\dim Z_G(e)=\frac{1}{2}(\sum _i({\lambda }_i^{\ast }{)}^2-\#\{j\mid {\lambda }_j\text{ は奇数}\}).$$
$\lambda =[3,3,1]$ の双対分割は ${\lambda }^{\ast }=[3,2,2]$、$\sum ({\lambda }_i^{\ast }{)}^2=9+4+4=17$、奇数の部分は 3 個。ゆえに $\dim Z_G(e)=(17-3)/2=7$。
検算: 軌道の次元は $21-7=14$ で、これは $B_3$ の冪零軌道 $[3,3,1]$ の次元 14 と一致する（$[7]$:18, $[5,1,1]$:16, $[3,3,1]$:14, $[3,2,2]$:12, ...）。また $Z_G(e)$ の次元は Lie 環 ${\mathfrak{z}}_{\mathfrak{g}}(e)$ の次元に等しい。