軌道の次元

リー群の作用の軌道について $dim (G \cdot x) = dim G - dim G_{x}$ を使い、共役類・随伴軌道（例: 冪零行列の $G L (n, C)$ 共役軌道 $n^{2} - \sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ ）の次元を求められる

前提

行列の中心化環の次元（大学院数学リー群・リー環）
行列リー群のリー環（大学院数学リー群・リー環）

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算数中学高校大学大学院

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説明

リー群 $G$ が空間に作用しているとき、点 $x$ の軌道 $G \cdot x = {g \cdot x ∣ g \in G}$ の次元は、公式 $dim (G \cdot x) = dim G - dim G_{x}$ で求められます。ここで $G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}$ は $x$ の固定部分群（安定化部分群）です。特に行列 $A$ の共役類（ $G L (n)$ の共役作用 $g \cdot A = g A g^{- 1}$ による軌道）では、 $G_{A}$ のリー環が中心化環 ${X ∣ X A = A X}$ になるので、前提の技能で求めた中心化環の次元から共役類の次元がすぐに出ます。

なぜそうしてよいのか

軌道写像 $φ : G \to G \cdot x, φ (g) = g \cdot x$ を考えます。 $φ (g) = φ (h)$ は $g^{- 1} h \in G_{x}$ 、つまり $h \in g G_{x}$ と同値なので、軌道上の 1 点に移る $g$ 全体はちょうど $G_{x}$ を 1 つずらした集合 $g G_{x}$ です。 $G$ は「軌道の点の数だけ $G_{x}$ の写しを並べたもの」になっており、 $G$ の自由度のうち $dim G_{x}$ 個分は $x$ を動かさないので、残りの $dim G - dim G_{x}$ 個分が軌道の広がりになります（ $G_{x}$ は $G$ の閉部分群で、軌道は次元 $dim G - dim G_{x}$ の部分多様体になることが知られています）。

線形化して見ると、より計算に近い理由が得られます。リー環の元 $X$ から、 $x$ を通る軌道上の曲線 $t \mapsto e^{tX} \cdot x$ ができ、その $t = 0$ での速度ベクトルが軌道の接ベクトルです。共役作用なら $\frac{d}{d t} (e^{tX} A e^{- tX})_{t = 0} = X A - A X$ です。線形写像 $X \mapsto X A - A X$ の像が軌道の接空間、核が ${X ∣ X A = A X}$ であり、核と像と次元定理から $(像の次元) = dim g - (核の次元)$ となります。

この核が $G_{A}$ のリー環であることは、前提の技能の線形化で確かめられます。 $G_{A}$ の定義方程式 $g A = A g$ に $g = e^{tX}$ を代入して $t$ で微分し $t = 0$ とおくと $X A = A X$ 。逆に $X A = A X$ なら $e^{tX}$ の各項が $A$ と可換なので $e^{tX} A = A e^{tX}$ です。したがって $dim G_{A} = dim {X ∣ X A = A X}$ で、 $G L (n, C)$ の場合、冪零でジョルダン型 $λ$ の $A$ の共役類の次元は $n^{2} - \sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ になります。

手順

群 $G$ 、作用、点 $x$ を確認し、 $dim G$ を求める（例: $dim_{C} G L (n, C) = n^{2}$ ）。実次元か複素次元かもここで決める
固定部分群 $G_{x} = {g ∣ g \cdot x = x}$ の定義方程式を書く（共役作用なら $g A = A g$ 、 $G$ 自身の条件も忘れずに付ける）
$g = e^{tX}$ を代入して線形化し、 $G_{x}$ のリー環を求める（共役作用なら ${X \in g ∣ X A = A X}$ ）
そのリー環の次元を数える（ $g = gl (n)$ で冪零なら $\sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ 、対角化可能なら $\sum m_{i}^{2}$ ）
$dim (G \cdot x) = dim G - dim G_{x}$ を計算する

例題

$G L (4, C)$ が $M_{4} (C)$ に共役 $g \cdot A = g A g^{- 1}$ で作用している。ジョルダン型が $(3, 1)$ の冪零行列（サイズ 3 と 1 のジョルダン細胞からなる冪零行列） $A$ の軌道（共役類）の複素次元を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $G = G L (4, C)$ は $M_{4} (C)$ の開集合なので $dim_{C} G = 4^{2} = 16$ 。

【手順 2】固定部分群は $G_{A} = {g \in G L (4, C) ∣ g A g^{- 1} = A} = {g \in G L (4, C) ∣ g A = A g}$ 。

【手順 3】 $g = e^{tX}$ を代入し $e^{tX} A = A e^{tX}$ を $t$ で微分して $t = 0$ とおくと $X A = A X$ 。逆に $X A = A X$ なら $e^{tX} A = A e^{tX}$ なので、 $G_{A}$ のリー環は ${X \in gl (4, C) ∣ X A = A X}$ 。

【手順 4】ジョルダン型 $λ = (λ_{1}, λ_{2}) = (3, 1)$ より
$i, j \sum min (λ_{i}, λ_{j}) = min (3, 3) + min (3, 1) + min (1, 3) + min (1, 1) = 3 + 1 + 1 + 1 = 6.$
よって $dim_{C} G_{A} = 6$ 。

【手順 5】 $dim_{C} (G \cdot A) = 16 - 6 = 10$ 。

答え: $10$

よくある誤り

中心化環の次元を $\sum_{i} λ_{i}^{2}$ と計算してしまう誤り。型 $(3, 1)$ なら $3^{2} + 1^{2} = 10$ となり、軌道の次元を $16 - 10 = 6$ と誤る。正しくは $\sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j}) = 6$ で、軌道は $16 - 6 = 10$ 次元（ $\sum m_{i}^{2}$ は対角化可能な場合の式）
$G$ を $S L (n)$ に変えたとき、 $dim G$ だけを 1 減らして固定部分群はそのままにする誤り。例題の $A$ で $15 - 6 = 9$ としてしまう。正しくは $S L (4, C)$ での固定部分群のリー環は ${X ∣ X A = A X, tr X = 0}$ で、単位行列 $I$ が中心化環に入りトレースが 0 でないので次元は $6 - 1 = 5$ 。軌道は $15 - 5 = 10$ 次元で変わらない
実次元と複素次元を混同する誤り。 $dim_{C} G L (4, C) = 16$ に対し実次元は $32$ 。実次元で答えるなら軌道も $2 \times 10 = 20$ で、 $16$ と $dim_{R}$ の値を混ぜて引き算しない
固定部分群の次元そのものを軌道の次元と思ってしまう誤り。例えば $A = diag (1, 1, 2)$ で中心化環の次元 $2^{2} + 1^{2} = 5$ を答えにする。正しくは $dim (G \cdot A) = 9 - 5 = 4$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$4$ 次の複素対角行列
$A = diag (1, 1, 2, 3)$
を考える。複素リー群 $G = G L (4, C)$ は $4$ 次複素正方行列全体 $M_{4} (C)$ に共役 $g \cdot X = g X g^{- 1}$ で作用する。 $A$ の軌道（共役類）
$G \cdot A = {g A g^{- 1} ∣ g \in G L (4, C)}$
の複素多様体としての次元（複素次元）を求めよ。

軌道の次元

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題