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リー群・リー環の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学リー群・リー環

$n$ を $3$ 以上の整数とする。 $e_{1}, e_{2}$ を $C^{2}$ の標準基底とし、 $n$ 個のテンソル積 $V = (C^{2})^{\otimes n}$ を考える。複素リー群 $G = S L (2, C)^{n}$ （ $S L (2, C)$ の $n$ 個の直積）を $V$ に
$(g_{1}, \dots, g_{n}) \cdot (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}) = g_{1} v_{1} \otimes \dots \otimes g_{n} v_{n}$
を線形に拡張して作用させる。ベクトル
$w_{n} = j = 1 \sum n e_{1} \otimes \dots \otimes e_{1} \otimes j 番目 e_{2} \otimes e_{1} \otimes \dots \otimes e_{1} \in V$
（ $j$ 番目の因子だけが $e_{2}$ で、残りがすべて $e_{1}$ であるテンソルの和）の等方部分群
$G_{w_{n}} = {g \in G ∣ g \cdot w_{n} = w_{n}}$
の複素次元を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

古典群の中心化群・等方部分群の次元（説明と入口の問題）
軌道の次元（説明と入口の問題）
掃き出し法と連立 1 次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（91 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

等方部分群の次元はそのリー環 ${X \in sl (2, C)^{n} ∣ X \cdot w_{n} = 0}$ の次元に等しい。リー環の作用はライプニッツ則 $\sum_{i} v_{1} \otimes \dots \otimes X_{i} v_{i} \otimes \dots \otimes v_{n}$ で与えられる。

ヒント 2

$X_{i} = (a_{i} c_{i} b_{i} - a_{i})$ とおき、 $X \cdot w_{n}$ を基底 $e_{S}$ （ $e_{2}$ が置かれる位置の集合 $S$ で番号付けたテンソル）で展開して、 $e_{\emptyset}$ 、 $e_{{j}}$ 、 $e_{{i, j}}$ の係数を調べよ。

ヒント 3

係数の条件は $\sum_{j} b_{j} = 0$ 、 $\sum_{i} a_{i} - 2 a_{j} = 0$ （すべての $j$ ）、 $c_{i} + c_{j} = 0$ （すべての $i \neq = j$ ）となる。 $n \geq 3$ を使って $a_{j}$ と $c_{j}$ がどうなるかを決めよ。

答えと解説

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n - 1

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解説を読む

方針. $G_{w_{n}}$ は $G$ の閉部分群（代数的部分群）なので複素リー部分群であり、そのリー環は
$g_{w_{n}} = {X \in g ∣ X \cdot w_{n} = 0}, g = sl (2, C)^{n}$
である。ここで $X = (X_{1}, \dots, X_{n})$ の $V$ への作用（群作用の微分）は
$X \cdot (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}) = i = 1 \sum n v_{1} \otimes \dots \otimes X_{i} v_{i} \otimes \dots \otimes v_{n}$
で与えられる。よって $dim_{C} G_{w_{n}} = dim_{C} g_{w_{n}}$ を求めればよい。

記号. 部分集合 $S \subset {1, \dots, n}$ に対し、 $S$ に属する位置の因子が $e_{2}$ 、それ以外の位置の因子が $e_{1}$ であるテンソルを $e_{S}$ と書く。 ${e_{S}}$ は $V$ の基底であり、 $w_{n} = \sum_{j} e_{{j}}$ である。
$X_{i} = (a_{i} c_{i} b_{i} - a_{i}) (a_{i}, b_{i}, c_{i} \in C)$
とおくと $X_{i} e_{1} = a_{i} e_{1} + c_{i} e_{2}$ 、 $X_{i} e_{2} = b_{i} e_{1} - a_{i} e_{2}$ である。

計算. $X_{i}$ を第 $i$ 因子に作用させると、
- $i \neq = j$ のとき（第 $i$ 因子は $e_{1}$ ）: $e_{{j}} \mapsto a_{i} e_{{j}} + c_{i} e_{{i, j}}$
- $i = j$ のとき（第 $j$ 因子は $e_{2}$ ）: $e_{{j}} \mapsto b_{j} e_{\emptyset} - a_{j} e_{{j}}$

となる。 $s = a_{1} + \dots + a_{n}$ とおいて和をとると
$X \cdot w_{n} = (j = 1 \sum n b_{j}) e_{\emptyset} + j = 1 \sum n (s - 2 a_{j}) e_{{j}} + i < j \sum (c_{i} + c_{j}) e_{{i, j}} .$
したがって $X \cdot w_{n} = 0$ は次と同値である。
$(1) j = 1 \sum n b_{j} = 0, (2) s - 2 a_{j} = 0 (1 \leq j \leq n), (3) c_{i} + c_{j} = 0 (i \neq = j) .$

$(2)$ より $a_{j} = \frac{s}{2}$ がすべての $j$ で成り立つ。これを足し合わせると $s = \frac{n s}{2}$ 、すなわち $(\frac{n}{2} - 1) s = 0$ となり、 $n \geq 3$ より $s = 0$ 。よって $a_{1} = \dots = a_{n} = 0$ 。

$(3)$ について、 $n \geq 3$ なので相異なる $i, j, k$ をとれる。 $c_{i} = - c_{j} = c_{k} = - c_{i}$ より $c_{i} = 0$ 。よって $c_{1} = \dots = c_{n} = 0$ 。

以上より
$g_{w_{n}} = {((00 b_{1} 0), \dots, (00 b_{n} 0)) b_{1} + \dots + b_{n} = 0}$
であり、これは $b_{1}, \dots, b_{n}$ に関する $1$ 本の非自明な線形条件で定まるので、複素次元は $n - 1$ である。

ゆえに $dim_{C} G_{w_{n}} = n - 1$ 。（なお軌道 $G \cdot w_{n}$ の次元は $3 n - (n - 1) = 2 n + 1$ となる。）

別解

リー環レベルで計算する。 $G_{w_{n}}$ のリー環は、 $(X_{1}, \dots, X_{n}) \in sl_{2}^{n}$ で $\sum_{j} X_{j}^{(j)} w_{n} = 0$ を満たすもの全体である。 $X_{j} = (a_{j} c_{j} b_{j} - a_{j})$ とおくと、 $X_{j} e_{1} = a_{j} e_{1} + c_{j} e_{2}$ 、 $X_{j} e_{2} = b_{j} e_{1} - a_{j} e_{2}$ である。

$w_{n}$ は $k$ 番目だけが $e_{2}$ のテンソル $t_{k}$ の和で、 $e_{1}^{\otimes n}$ を $t_{0}$ と書く。 $j$ 番目の因子の作用を $t_{k}$ に施すと次のようになる。
- $j = k$ のとき、 $b_{j} t_{0} - a_{j} t_{k}$ を与える。
- $j \neq = k$ のとき、 $a_{j} t_{k} + c_{j} t_{j k}$ を与える。ここで $t_{j k}$ は $j, k$ 番目が $e_{2}$ のテンソルである。

これらを足し合わせると、各基底の係数は次のようになる。
- $t_{0}$ の係数は $\sum_{j} b_{j}$ である。
- $t_{k}$ の係数は $\sum_{j \neq = k} a_{j} - a_{k} = S - 2 a_{k}$ である。ただし $S = \sum_{j} a_{j}$ とおいた。
- $t_{j k}$ の係数は $c_{j} + c_{k}$ である。

これらがすべて $0$ になる条件を調べる。
- $t_{j k}$ の条件から、 $n \geq 3$ のとき全ての $c_{j} = 0$ となる。たとえば $c_{1} = - c_{2}$ 、 $c_{1} = - c_{3}$ 、 $c_{2} = - c_{3}$ から $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ が従う。
- $t_{k}$ の条件から、全ての $a_{k} = S /2$ となる。これを $S = na$ に代入すると $(n - 2) a = 0$ となり、 $n \geq 3$ より $a = 0$ である。よって全ての $a_{k} = 0$ 。
- $t_{0}$ の条件は $\sum b_{j} = 0$ である。

したがって、リー環は ${b \in C^{n} ∣ \sum b_{j} = 0}$ であり、次元は $n - 1$ である。これは軌道の次元 $3 n - (n - 1) = 2 n + 1$ とも整合する。

複素リー群の等方部分群の次元は、そのリー環の次元に等しい。よって $dim G_{w_{n}} = n - 1$ 。

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