リー群・リー環の問題

$n$ を正の整数とする。$X\in M_n(\mathbb{C})$ に対し $X^{\ast }={\overline{X}}^T$（随伴行列）とし、ユニタリ群を
$$U(n)=\{g\in G{L}_n(\mathbb{C})\mid g^{\ast }g=I\}$$
とする。$U(n)$ は $G{L}_n(\mathbb{C})$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$$\mathfrak{u}(n)=\{X\in M_n(\mathbb{C})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in U(n)\}$$
で定める。このとき $\mathfrak{u}(n)$ は $M_n(\mathbb{C})$ の実線形部分空間であり、実ベクトル空間としての次元が ${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{u}(n)=n^2$ であることを証明せよ。

ただし、実数 $t$ に対して $\exp (tX{)}^{\ast }=\exp (t{X}^{\ast })$、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)=\exp (tX)X$、$\exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$n$ 次の実上三角行列全体のなす実リー環 $${\mathfrak{b}}_n=\{X\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\mid i>j\text{ のとき }{X}_{ij}=0\}$$ を考える（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）。${\mathfrak{b}}_n$ のキリング形式を $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$（$\mathrm{ad}X$ は ${\mathfrak{b}}_n$ 上の線形写像 $Z\mapsto [X,Z]$）で定める。$B$ の根基 $$\mathrm{rad}B=\{X\in {\mathfrak{b}}_n\mid \text{すべての }Y\in {\mathfrak{b}}_n\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のリー環としての自己同型全体
$$\mathrm{Aut}\mathfrak{g}=\{\phi \in GL(\mathfrak{g})\mid \text{すべての }u,v\in \mathfrak{g}\text{ に対して }\phi ([u,v])=[\phi (u),\phi (v)]\}$$
は $GL(\mathfrak{g})$ の閉部分群であり、リー群になる。$\mathrm{Aut}\mathfrak{g}$ のリー群としての次元を求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=-e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
（$\mathrm{ad}X:Z\mapsto [X,Z]$）とし、その根基を
$$\mathrm{rad}B=\{X\in \mathfrak{g}\mid \text{すべての }Y\in \mathfrak{g}\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$
とする。$\mathrm{rad}B$ の（実ベクトル空間としての）次元を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$e_1,\dots ,e_n$ を ${\mathbb{R}}^n$ の標準基底とする。$N\in M_n(\mathbb{R})$ を
$$N{e}_k=e_{k+1}(1\le k\le n-1),N{e}_n=0$$
で定まる行列（$n$ 次の冪零ジョルダン細胞）とする。$N$ の中心化群
$$Z(N)=\{g\in G{L}_n(\mathbb{R})\mid gN=Ng\}$$
は $G{L}_n(\mathbb{R})$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$$\mathfrak{z}=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in Z(N)\}$$
で定める。このとき $\mathfrak{z}$ は $M_n(\mathbb{R})$ の線形部分空間であり、${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{z}=n$ であることを証明せよ。

ただし、$\exp (tX)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{t^k{X}^k}{k!}$ が絶対収束すること、$\exp (tX)$ が正則であること、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)$ であることは用いてよい。