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リー群・リー環の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学リー群・リー環

$n$ を正の整数とし、 $e_{1}, \dots, e_{n}$ を $R^{n}$ の標準基底とする。 $N \in M_{n} (R)$ を
$N e_{k} = e_{k + 1} (1 \leq k \leq n - 1), N e_{n} = 0$
で定まる行列（ $n$ 次の冪零ジョルダン細胞）とする。 $N$ の中心化群
$Z (N) = {g \in G L_{n} (R) ∣ g N = N g}$
は $G L_{n} (R)$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$z = {X \in M_{n} (R) ∣ すべての t \in R に対して exp (tX) \in Z (N)}$
で定める。このとき $z$ は $M_{n} (R)$ の線形部分空間であり、 $dim_{R} z = n$ であることを証明せよ。

ただし、 $exp (tX) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t ^{k} X ^{k}}{k !}$ が絶対収束すること、 $exp (tX)$ が正則であること、 $\frac{d}{d t} exp (tX) = X exp (tX)$ であることは用いてよい。

この問題で使うもの

行列リー群のリー環（説明と入口の問題）
行列の中心化環の次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $z$ を「 $N$ と可換な行列全体」と言い換え、その空間が $N$ の多項式全体であることを示す方針をとろう。

ヒント 2

$e_{k} = N^{k - 1} e_{1}$ に注目する。 $N$ と可換な $X$ は、 $X e_{1}$ だけで決まってしまう。

ヒント 3

$X e_{1} = \sum_{j} c_{j} e_{j}$ と書いて $p (N) = \sum_{j} c_{j} N^{j - 1}$ をつくると $p (N) e_{1} = X e_{1}$ 。ここから各 $e_{k}$ 上でも $X$ と $p (N)$ が一致することを確かめる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$exp (tX) N = N exp (tX)$ を $t = 0$ で微分して、 $X \in z$ なら $X N = N X$ を導いている（2 点）
逆に $X N = N X$ なら $X^{k}$ も $N$ と可換で、級数の部分和の極限から $exp (tX) \in Z (N)$ を示し、 $z$ が線形部分空間であると述べている（2 点）
$e_{k} = N^{k - 1} e_{1}$ を用いて、 $N$ と可換な $X$ が $X e_{1}$ から作った多項式 $p (N)$ と全基底上で一致することを示している（3 点）
$I, N, \dots, N^{n - 1}$ を $e_{1}$ に作用させて一次独立性を示している（2 点）
以上から $dim z = n$ を結論している（1 点）

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模範解答を読む

段階 1： $z = c$ 、ただし $c = {X \in M_{n} (R) ∣ X N = N X}$ 。

( $\subset$ ) $X \in z$ とすると、すべての $t$ で $exp (tX) N = N exp (tX)$ 。両辺を $t$ で微分すると $X exp (tX) N = N X exp (tX)$ であり、 $t = 0$ とおくと $exp (0) = I$ より $X N = N X$ 。よって $X \in c$ 。

( $\supset$ ) $X \in c$ とする。帰納法で $X^{k} N = N X^{k}$ （ $k \geq 0$ ）がわかる（ $X^{k + 1} N = X (X^{k} N) = X N X^{k} = N X^{k + 1}$ ）。部分和 $S_{m} (t) = \sum_{k = 0}^{m} \frac{t ^{k} X ^{k}}{k !}$ は $S_{m} (t) N = N S_{m} (t)$ をみたし、行列の積は連続なので $m \to \infty$ として $exp (tX) N = N exp (tX)$ 。 $exp (tX)$ は正則なので $exp (tX) \in Z (N)$ 。よって $X \in z$ 。

$c$ は線形写像 $X \mapsto X N - N X$ の核なので、 $z = c$ は線形部分空間である。

段階 2： $c = span (I, N, \dots, N^{n - 1})$ 。

定義より帰納的に $e_{k} = N^{k - 1} e_{1}$ （ $1 \leq k \leq n$ ）である。

$N^{j}$ は $N$ と可換なので $span (I, N, \dots, N^{n - 1}) \subset c$ 。

逆に $X \in c$ とし、 $X e_{1} = \sum_{j = 1}^{n} c_{j} e_{j}$ と書く。 $p (N) = \sum_{j = 1}^{n} c_{j} N^{j - 1}$ とおくと、 $p (N) e_{1} = \sum_{j} c_{j} N^{j - 1} e_{1} = \sum_{j} c_{j} e_{j} = X e_{1}$ 。各 $k$ について、 $X$ が $N^{k - 1}$ と可換であること（段階 1 と同じ帰納法）と $p (N)$ が $N^{k - 1}$ と可換であることを用いて
$X e_{k} = X N^{k - 1} e_{1} = N^{k - 1} X e_{1} = N^{k - 1} p (N) e_{1} = p (N) N^{k - 1} e_{1} = p (N) e_{k} .$
$X$ と $p (N)$ は基底上で一致するので $X = p (N) \in span (I, N, \dots, N^{n - 1})$ 。

段階 3： $I, N, \dots, N^{n - 1}$ は一次独立。

$\sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} N^{j} = O$ とする。 $e_{1}$ に作用させると $\sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} N^{j} e_{1} = \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} e_{j + 1} = 0$ 。 $e_{1}, \dots, e_{n}$ は一次独立だから $a_{0} = \dots = a_{n - 1} = 0$ 。

結論. 段階 1〜3 より、 $z = c$ は線形部分空間で、 $I, N, \dots, N^{n - 1}$ がその基底をなす。したがって $dim z = n$ である。

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