リー群・リー環の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学リー群・リー環

$n$ を正の整数とし、 $A \in M_{n} (R)$ を階数 $r$ （ $0 \leq r \leq n$ ）の実対称行列とする。
$G_{A} = {g \in G L_{n} (R) ∣ g^{T} A g = A}$
とおくと、 $G_{A}$ は $G L_{n} (R)$ の閉部分群である（これは用いてよい）。 $G_{A}$ のリー環を
$g_{A} = {X \in M_{n} (R) ∣ すべての t \in R に対して exp (tX) \in G_{A}}$
で定める。このとき、 $g_{A}$ は $M_{n} (R)$ の線形部分空間であり、
$dim_{R} g_{A} = \frac{r ( r - 1 )}{2} + n (n - r)$
であることを証明せよ。

ただし、行列の指数関数について $exp (tX)^{T} = exp (t X^{T})$ 、 $\frac{d}{d t} exp (tX) = X exp (tX) = exp (tX) X$ 、 $exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。また、実対称行列に関するシルヴェスターの慣性法則（任意の実対称行列はある正則行列 $P$ により $P^{T} (\dots) P$ の形で $diag (I_{p}, - I_{q}, O)$ に変形できる）も用いてよい。

この問題で使うもの

行列リー群のリー環（説明と入口の問題）
古典群の次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $g_{A}$ を線形な条件 $X^{T} A + A X = 0$ で書き直し、その後シルヴェスターの慣性法則で $A$ を標準形 $diag (I_{p}, - I_{q}, O)$ に取り替えて計算する方針を立てよう。

ヒント 2

$f (t) = exp (t X^{T}) A exp (tX)$ を微分すると $f^{'} (t) = exp (t X^{T}) (X^{T} A + A X) exp (tX)$ となる。また $A = P^{T} A_{0} P$ のとき、 $Y = P X P^{- 1}$ とおくと条件 $X^{T} A + A X = 0$ は $Y^{T} A_{0} + A_{0} Y = 0$ に移る。

ヒント 3

$X$ を $(a c b d)$ とブロック分けすると、 $X^{T} A_{0} + A_{0} X$ の各ブロックは $a^{T} D + D a$ 、 $D b$ 、 $b^{T} D$ 、 $O$ になる。 $b = O$ が従い、 $c, d$ は自由。残る条件は「 $D a$ が交代行列」と言い換えられる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$f (t) = exp (tX)^{T} A exp (tX)$ の $t = 0$ での微分から、 $X \in g_{A}$ ならば $X^{T} A + A X = 0$ を導いている（2 点）
逆に $X^{T} A + A X = 0$ ならば $f^{'} (t) \equiv 0$ から $f (t) = A$ を示し、 $exp (tX) \in G_{A}$ を結論して、 $g_{A}$ が線形写像の核（線形部分空間）であると述べている（2 点）
慣性法則で $A = P^{T} A_{0} P$ とし、 $X \mapsto P X P^{- 1}$ が条件 $X^{T} A + A X = 0$ と $Y^{T} A_{0} + A_{0} Y = 0$ を対応させる線形同型であることを計算で確かめている（2 点）
ブロック分けにより $X^{T} A_{0} + A_{0} X = 0$ が「 $b = O$ かつ $a^{T} D + D a = O$ 、 $c, d$ は任意」と同値であることを、 $D$ の正則性を使って示している（2 点）
$a \mapsto D a$ で条件を交代行列の空間に移して次元 $\frac{r ( r - 1 )}{2}$ を得て、全体の次元 $\frac{r ( r - 1 )}{2} + r (n - r) + (n - r)^{2} = \frac{r ( r - 1 )}{2} + n (n - r)$ を正しく計算している（2 点）

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模範解答を読む

段階 1： $g_{A} = {X \in M_{n} (R) ∣ X^{T} A + A X = 0}$ を示す。

右辺の集合を $h_{A}$ とおく。 $X$ を固定し、 $f (t) = exp (tX)^{T} A exp (tX) = exp (t X^{T}) A exp (tX)$ とおく。積の微分と $\frac{d}{d t} exp (t Y) = Y exp (t Y) = exp (t Y) Y$ より
$f^{'} (t) = exp (t X^{T}) X^{T} A exp (tX) + exp (t X^{T}) A X exp (tX) = exp (t X^{T}) (X^{T} A + A X) exp (tX) .$

( $\subset$ ) $X \in g_{A}$ とする。すべての $t$ で $exp (tX) \in G_{A}$ だから $f (t) = A$ （定数）であり、 $f^{'} (0) = 0$ 。上式で $t = 0$ とすると $exp (0) = I$ より $f^{'} (0) = X^{T} A + A X$ なので、 $X^{T} A + A X = 0$ 、すなわち $X \in h_{A}$ 。

( $\supset$ ) $X \in h_{A}$ とする。上式より、すべての $t$ で $f^{'} (t) = 0$ なので、 $f$ は $R$ 上で定数であり、 $f (t) = f (0) = A$ 。さらに $exp (tX)$ は正則だから $exp (tX) \in G L_{n} (R)$ で、 $exp (tX)^{T} A exp (tX) = A$ 。よってすべての $t$ で $exp (tX) \in G_{A}$ 、すなわち $X \in g_{A}$ 。

以上より $g_{A} = h_{A}$ 。 $h_{A}$ は線形写像 $L_{A} : M_{n} (R) \to M_{n} (R), X \mapsto X^{T} A + A X$ の核なので、 $g_{A}$ は線形部分空間である。

段階 2：標準形への帰着。

シルヴェスターの慣性法則より、正則行列 $P$ と $p + q = r$ をみたす非負整数 $p, q$ があって、 $A = P^{T} A_{0} P$ 、ただし
$A_{0} = (D O O O), D = diag (I_{p}, - I_{q}) \in M_{r} (R)$
とできる（ $A$ と $A_{0}$ は正則行列で移り合うので階数が等しく、 $A_{0}$ の階数は $p + q$ だから $p + q = r$ ）。 $X \in M_{n} (R)$ に対し $Y = P X P^{- 1}$ とおくと、 $X = P^{- 1} Y P$ より
$P^{- T} (X^{T} A + A X) P^{- 1} = P^{- T} X^{T} P^{T} A_{0} P P^{- 1} + P^{- T} P^{T} A_{0} P X P^{- 1} = Y^{T} A_{0} + A_{0} Y$
（ $P^{- T} = (P^{- 1})^{T}$ 、 $Y^{T} = P^{- T} X^{T} P^{T}$ を用いた）。 $P^{- T}, P^{- 1}$ は正則なので、 $X^{T} A + A X = 0 ⟺ Y^{T} A_{0} + A_{0} Y = 0$ 。したがって線形同型写像 $X \mapsto P X P^{- 1}$ （逆写像は $Y \mapsto P^{- 1} Y P$ ）は $h_{A}$ を $h_{A_{0}}$ の上へ全単射に移し、 $dim h_{A} = dim h_{A_{0}}$ 。

段階 3： $dim h_{A_{0}}$ の計算。

$X \in M_{n} (R)$ を $r$ と $n - r$ のサイズでブロックに分けて
$X = (a c b d) (a \in M_{r}, b \in M_{r, n - r}, c \in M_{n - r, r}, d \in M_{n - r})$
と書く（ $r = 0$ や $r = n$ のときは該当するブロックがないものとして読む）。 $X^{T} = (a^{T} b^{T} c^{T} d^{T})$ なので
$X^{T} A_{0} = (a^{T} D b^{T} D O O), A_{0} X = (D a O D b O),$
$X^{T} A_{0} + A_{0} X = (a^{T} D + D a b^{T} D D b O) .$
$D$ は正則（ $D^{2} = I_{r}$ ）なので、 $D b = O ⟺ b = O$ であり、このとき $b^{T} D = O$ も成り立つ。よって
$X \in h_{A_{0}} ⟺ a^{T} D + D a = O かつ b = O (c, d は任意) .$

次に $s = {a \in M_{r} (R) ∣ a^{T} D + D a = O}$ の次元を求める。 $D^{T} = D$ より $(D a)^{T} = a^{T} D$ だから、条件 $a^{T} D + D a = O$ は $(D a)^{T} = - D a$ 、すなわち $D a$ が交代行列であることと同値である。写像 $a \mapsto D a$ は $M_{r} (R)$ の線形同型（逆写像は $s \mapsto D s$ 、 $D^{2} = I_{r}$ による）であり、 $s$ を $r$ 次実交代行列全体 $o (r)$ の上へ全単射に移す。 $o (r)$ は対角成分が $0$ で、対角より上の $\frac{r ( r - 1 )}{2}$ 個の成分を自由に選べば下側が決まるので $dim o (r) = \frac{r ( r - 1 )}{2}$ 。よって $dim s = \frac{r ( r - 1 )}{2}$ 。

したがって $h_{A_{0}} ≅ s \oplus M_{n - r, r} (R) \oplus M_{n - r} (R)$ （ $a, c, d$ を独立に選べる）であり、
$dim h_{A_{0}} = \frac{r ( r - 1 )}{2} + (n - r) r + (n - r)^{2} = \frac{r ( r - 1 )}{2} + (n - r) (r + n - r) = \frac{r ( r - 1 )}{2} + n (n - r) .$

結論. 段階 1〜3 より、 $g_{A} = h_{A}$ は $M_{n} (R)$ の線形部分空間であり、
$dim g_{A} = dim h_{A_{0}} = \frac{r ( r - 1 )}{2} + n (n - r)$
が示された。（確認： $r = 0$ では $G_{A} = G L_{n} (R)$ で $n^{2}$ 、 $r = n$ では $G_{A} = O (p, q)$ の共役で $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ となり、整合する。）

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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