リー群・リー環の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学リー群・リー環

$n \geq 2$ を整数とし、 $V = R^{n}$ に標準内積 $(\cdot, \cdot)$ を入れ、 $e_{1}, \dots, e_{n}$ を標準基底とする。
$Φ = {\pm e_{i} \pm e_{j} ∣ 1 \leq i < j \leq n} (複号任意)$
とおく（ $D_{n}$ 型のルート系）。 $α \in Φ$ に対し、鏡映 $s_{α} \in G L (V)$ を
$s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α (x \in V)$
で定め、 $W$ を ${s_{α} ∣ α \in Φ}$ で生成される $G L (V)$ の部分群とする。このとき
$∣ W ∣ = 2^{n - 1} n!$
であることを証明せよ。

ただし、対称群 $S_{n}$ が互換で生成されること、 $∣ S_{n} ∣ = n!$ であること、および有限群の準同型定理（ $∣ G ∣ = ∣ Ker f ∣ \cdot ∣ Im f ∣$ ）は用いてよい。

この問題で使うもの

ルート系と鏡映（説明と入口の問題）
ワイル群の位数と軌道（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$W$ を「 $- 1$ の個数が偶数の符号付き置換行列全体」という具体的な群 $H$ と一致させ、 $H$ の位数を数える方針をとろう。

ヒント 2

鏡映を成分で書くと、 $s_{e_{i} - e_{j}}$ は第 $i$ ・第 $j$ 座標の入れ替え、 $s_{e_{i} + e_{j}}$ は入れ替えたうえで両方の符号を反転する写像になる。符号の積を与える写像 $χ$ が準同型であることを使う。

ヒント 3

すべての鏡映が $H$ に入るので $W \subset H$ 。逆向きには、 $s_{e_{i} + e_{j}} s_{e_{i} - e_{j}}$ が第 $i$ ・第 $j$ 座標の符号だけを反転することに注目し、置換部分と偶数個の符号反転に分解する。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

符号付き置換全体 $B$ が群であり、表示 $D_{d} P_{σ}$ の一意性から $∣ B ∣ = 2^{n} n!$ であることを示している（2 点）
符号の積 $χ$ が準同型かつ全射であることを、置換で符号が並べ替わるだけという計算から示し、 $∣ Ker χ ∣ = 2^{n - 1} n!$ を得ている（2 点）
$s_{e_{i} - e_{j}}$ と $s_{e_{i} + e_{j}}$ を成分計算で求め、それぞれ $Ker χ$ に属することから $W \subset Ker χ$ を導いている（2 点）
$s_{e_{i} + e_{j}} s_{e_{i} - e_{j}}$ が 2 つの座標の符号反転であること、 $s_{e_{i} - e_{j}}$ が互換を与えることから、置換行列全体と偶数個の符号反転が $W$ に入ることを示している（3 点）
任意の元を分解して $Ker χ \subset W$ を結論し、 $∣ W ∣ = 2^{n - 1} n!$ を述べている（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

記号. $σ \in S_{n}$ に対し $P_{σ} \in G L (V)$ を $P_{σ} e_{j} = e_{σ (j)}$ で定め、 $d = (d_{1}, \dots, d_{n}) \in {\pm 1}^{n}$ に対し $D_{d} = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ とおく。 $B = {D_{d} P_{σ} ∣ d \in {\pm 1}^{n}, σ \in S_{n}}$ （符号付き置換全体）とする。

段階 1： $B$ は位数 $2^{n} n!$ の群である。

$P_{σ} P_{τ} = P_{σ τ}$ （ $P_{σ} P_{τ} e_{j} = e_{σ (τ (j))}$ による）であり、
$P_{σ} D_{d} P_{σ}^{- 1} = D_{d^{'}}, d_{σ (j)}^{'} = d_{j} (1)$
が成り立つ（ $P_{σ} D_{d} P_{σ}^{- 1} e_{σ (j)} = P_{σ} D_{d} e_{j} = d_{j} e_{σ (j)}$ による）。よって
$(D_{d} P_{σ}) (D_{c} P_{τ}) = D_{d} (P_{σ} D_{c} P_{σ}^{- 1}) P_{σ} P_{τ} = D_{d} D_{c^{'}} P_{σ τ} \in B,$
また $(D_{d} P_{σ})^{- 1} = P_{σ}^{- 1} D_{d} = (P_{σ}^{- 1} D_{d} P_{σ}) P_{σ^{- 1}} \in B$ （(1) を $σ^{- 1}$ に適用）、 $I = D_{(1, \dots, 1)} P_{id} \in B$ なので $B$ は群である。表示 $g = D_{d} P_{σ}$ は一意的である： $g e_{j} = d_{σ (j)} e_{σ (j)}$ だから、 $g$ から $σ (j)$ （ $g e_{j}$ の $0$ でない成分の位置）と符号 $d_{σ (j)}$ が読み取れ、 $σ$ は全単射なので $d$ も全成分が決まる。よって $∣ B ∣ = 2^{n} \cdot n!$ 。

段階 2：準同型 $χ$ と部分群 $H$ 。

$χ : B \to {\pm 1}$ を $χ (D_{d} P_{σ}) = d_{1} d_{2} \dots d_{n}$ で定める（表示の一意性により well-defined）。段階 1 の積の計算で $c^{'}$ は $c$ の成分を並べ替えたものだから $\prod c_{k}^{'} = \prod c_{k}$ であり、
$χ ((D_{d} P_{σ}) (D_{c} P_{τ})) = k \prod d_{k} c_{k}^{'} = χ (D_{d} P_{σ}) χ (D_{c} P_{τ}) .$
よって $χ$ は群準同型である。 $χ (D_{(- 1, 1, \dots, 1)}) = - 1$ より $χ$ は全射。 $H = Ker χ$ （ $- 1$ の個数が偶数の符号付き置換全体）とおくと、準同型定理より
$∣ H ∣ = \frac{∣ B ∣}{2} = 2^{n - 1} n! .$
あとは $W = H$ を示せばよい。

段階 3：鏡映の具体形. $i < j$ とする。 $α = \pm (e_{i} - e_{j})$ または $α = \pm (e_{i} + e_{j})$ であり、 $s_{- α} = s_{α}$ （定義式で $α$ を $- α$ にしても変わらない）なので、 $α = e_{i} - e_{j}, e_{i} + e_{j}$ の場合を調べれば十分。いずれも $(α, α) = 2$ なので $s_{α} (x) = x - (x, α) α$ 。 $x = \sum_{k} x_{k} e_{k}$ とすると、
- $s_{e_{i} - e_{j}} (x) = x - (x_{i} - x_{j}) (e_{i} - e_{j})$ ：第 $i$ 成分は $x_{j}$ 、第 $j$ 成分は $x_{i}$ 、他の成分は不変。すなわち $s_{e_{i} - e_{j}} = P_{(i j)}$ （互換 $(i j)$ に対応）。
- $s_{e_{i} + e_{j}} (x) = x - (x_{i} + x_{j}) (e_{i} + e_{j})$ ：第 $i$ 成分は $- x_{j}$ 、第 $j$ 成分は $- x_{i}$ 、他は不変。すなわち $s_{e_{i} + e_{j}} = D_{d} P_{(i j)}$ （ $d_{i} = d_{j} = - 1$ 、他は $1$ ）。

段階 4： $W \subset H$ . 段階 3 より、各 $s_{α}$ は $B$ に属し、 $χ (s_{e_{i} - e_{j}}) = 1$ 、 $χ (s_{e_{i} + e_{j}}) = (- 1)^{2} = 1$ だから $s_{α} \in H$ 。 $H$ は部分群なので、 $s_{α}$ たちが生成する $W$ は $H$ に含まれる。

段階 5： $H \subset W$ . $i < j$ に対し $ε_{ij} = D_{d}$ （ $d_{i} = d_{j} = - 1$ 、他は $1$ ）とおく。段階 3 より
$s_{e_{i} + e_{j}} s_{e_{i} - e_{j}} = D_{d} P_{(i j)} P_{(i j)} = D_{d} = ε_{ij}$
（ $P_{(i j)}^{2} = I$ ）なので $ε_{ij} \in W$ 。また $P_{(i j)} = s_{e_{i} - e_{j}} \in W$ であり、 $S_{n}$ は互換で生成され $σ \mapsto P_{σ}$ は準同型なので、すべての $P_{σ} \in W$ 。

$h = D_{d} P_{σ} \in H$ を任意にとる。 $d_{k} = - 1$ となる $k$ の集合を ${k_{1} < k_{2} < \dots < k_{2 m}}$ とすると、 $χ (h) = 1$ よりその個数は偶数である。対角行列は互いに可換なので
$D_{d} = ε_{k_{1} k_{2}} ε_{k_{3} k_{4}} \dots ε_{k_{2 m - 1} k_{2 m}}$
（ $m = 0$ のときは $D_{d} = I$ ）であり、 $D_{d} \in W$ 。よって $h = D_{d} P_{σ} \in W$ 。ゆえに $H \subset W$ 。

結論. 段階 4・5 より $W = H$ であり、段階 2 より
$∣ W ∣ = ∣ H ∣ = 2^{n - 1} n!$
が示された。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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