リー群・リー環の問題

ワイル群の決定. $\alpha =e_i-e_j$ のとき $(\alpha ,\alpha )=2$ で
$$s_{e_i-e_j}(x)=x-(x_i-x_j)(e_i-e_j)$$
は座標 $x_i$ と $x_j$ を入れ替える。$\alpha =e_i+e_j$ のとき
$$s_{e_i+e_j}(x)=x-(x_i+x_j)(e_i+e_j)$$
は $(x_i,x_j)\mapsto (-x_j,-x_i)$、すなわち入れ替えたうえで両方の符号を変える。したがって $s_{e_i-e_j}{s}_{e_i+e_j}$ は $x_i,x_j$ の符号を同時に変える写像である。

よって $W$ は、座標の置換全体（$S_4$）と、偶数個の座標の符号を変える写像全体（$\{\epsilon \in \{\pm 1{\}}^4\mid {\epsilon }_1{\epsilon }_2{\epsilon }_3{\epsilon }_4=1\}$、位数 $2^3=8$）を含む。逆に、各生成元は「符号付き置換で、マイナスの個数が偶数」という性質をもち、この性質は合成で保たれるので、
$$W=\{x\mapsto ({\epsilon }_1{x}_{\sigma (1)},\dots ,{\epsilon }_4{x}_{\sigma (4)})\mid \sigma \in S_4,{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\epsilon }_3{\epsilon }_4=1\}$$
であり、$|W|=4!\cdot 2^3=192$。

固定部分群. $v=(2,1,1,0)$ を固定する $w$ を求める。$w(v)$ の成分の絶対値は $v$ の成分の絶対値の並べ替えなので、$w(v)=v$ となるには $\sigma$ が値 $2$ の位置（第 $1$ 成分）と値 $0$ の位置（第 $4$ 成分）を固定し、第 $2,3$ 成分を入れ替えるか固定するかのどちらかである（$2$ 通り）。符号については、$0$ でない第 $1,2,3$ 成分の符号は変えられないので ${\epsilon }_1={\epsilon }_2={\epsilon }_3=1$、さらに ${\epsilon }_1{\epsilon }_2{\epsilon }_3{\epsilon }_4=1$ より ${\epsilon }_4=1$ となる。よって固定部分群 $W_v$ の位数は $2$（恒等写像と $s_{e_2-e_3}$）。

（別の確認: 固定部分群は $v$ に直交するルートの鏡映で生成される。$(\alpha ,v)=0$ となる $\alpha \in \Phi$ は $\pm (e_2-e_3)$ だけなので $|W_v|=2$。）

軌道の大きさ. 軌道・固定部分群定理により
$$|Wv|=\frac{|W|}{|W_v|}=\frac{192}{2}=96.$$

（注意: 符号を $1$ 個だけ変える写像は $W$ に入らないので、第 $4$ 成分が $0$ であっても固定部分群は大きくならない。これは $B_4$ 型のワイル群との違いである。）

$\Phi$ は $D_4$ 型で、そのワイル群 $W$ は成分の置換と偶数個の符号変更で生成される（位数 $4!\cdot 2^3=192$）。\n\n$v=(2,1,1,0)$ は成分に $0$ を含む。偶数個の符号変更で、$0$ の成分の符号を必要に応じて反転できるため（$0$ の符号は無意味）、任意の符号の組み合わせを実現できる。よって軌道は $v$ の成分の置換と任意の符号変更で得られるベクトル全体になる。\n\n- 成分の並べ方: 多重集合 $\{2,1,1,0\}$ の相異なる並べ替えは $\frac{4!}{2!}=12$ 通り。\n- 符号: 非零成分 3 個それぞれに $\pm$ で $2^3=8$ 通り（$0$ は符号の区別なし）。\n\n個数は $12\times 8=96$。\n\n検算（軌道・安定化群）: $|W|=192$ なので安定化群の位数は $192/96=2$。$v$ の安定化群は、成分 $1,1$ を入れ替える置換（位数 2）と、$0$ の成分の符号を単独で変えることはできない（偶数個の符号変更が必要）が、$0$ 成分と他の成分の符号を同時に変えると $v$ が動くので不可、となり位数 2 に一致する。